Исходные предпосылки

При построении теории расчета нa устойчивость стержневых систем со сжатыми элементами методом перемещений принимаются следующие допущения и рабочие гипотезы:

1) рассматриваются системы физически и геометрически линейные;

3) стержни считаются несжимаемыми

и нерастяжимыми (за исключением эле-

ментов типа затяжек, подвесок и т.п., про-

дольные деформации которых могут быть

соизмеримыми с перемещениями, возникающими за счет изгиба других элементов);

4) сближением концов стержня, вызванным его изгибом, пренебрегают (иными словами, считается, что длина хорды, соединяющей концы изогнутого j -го стержня, равна его первоначальной длине l_j), т.е. l_j;

5) растягивающие продольные силы, возникающие в исходном состоянии, в расчет не принимаются (в запас устойчивости);

6) деформации сдвига не учитываются.

Раскроем смысл и значение сформулированных предпосылок.

Первая из них означает, что

а) элементы считаются изготовленными из материалов, обладающих свойством линейной упругости; внутренние и внешние связи – идеальные (абсолютно жесткие или линейно упругоподатливые, шарниры – без трения) – таким образом обеспечивается физическая линейность;

б) перемещения системы при переходе из теряющего устойчивость исходного равновесного состояния в новую форму равновесия, характеризующуюся искривлением и изгибом стержней (а в пространственных системах – также и кручением), предполагаются малыми (линейные перемещения – в сравнении с длинами элементов, а угловые – в сравнении с единицей) – это дает геометрическую линейность. Отсюда вытекают следствия:

– при аналитическом описании напряженно-деформированного состояния элементов системы после потери устойчивости используется приближенное (линеаризованное) выражение кривизны оси вместо точного (нелинейного) – см. Приложение;

– изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы и приращения продольных сил, возникающие в элементах при отклонениях от исходной формы равновесия, малы (в частности, < < , где = N_j – ; N_j – продольная сила в j -ом стержне после потери устойчивости), поэтому отношение продольных сил в новой (изгибно-крутильной) форме равновесия считается таким же, как в исходной форме:

N ₁: …: N_j : …: N_m = (): …: (): …: ()

: …: : …: = x ₁: …: x_j: …: x_m.

Вторая предпосылка об идеальном характере системы применительно к расчету методом перемещений дает:

– оси стержней идеально прямоли-

нейны^*) (для армированных или

многослойных стержней следует

рассматривать оси приведенных

цент­ров тяжести сечений, при этом материалы, из которых изготовлены элементы, однородны и обладают совершенной структу-

рой – нет трещин, пустот и других дефектов);

– отсутствуют отклонения от заданной формы сечений;

т.е. сохраняющие первоначальное

направление при отклонениях си-

стемы от исходного равновесного

состояния. Нагружение – простое (пропорциональное), при котором все нагрузки задаются с точностью до общего параметра F: F_t = a_t F, t = 1, 2, …, u (a_t – известные числовые коэффициенты, u – число узловых нагрузок), следовательно, в любой момент нагружения, вплоть до критического состояния (0 < F F_cr), отношение нагрузок остается неизменным: F ₁ : F ₂ : …: F_t: …: F_u = = a ₁: a ₂: …: a_t: …: a_u. Значения коэффициентов a ₁, a ₂, …, a_u таковы, что в исходном состоянии стержни не испытывают изгиба и кручения – имеетместо лишь осевое сжатие или растяжение, причем продольные силы в элементах из условий равновесия узлов выражаются через параметр нагрузки: j =1, 2, …, m (m – число стержней; x ₁, x ₂, …, x_m – числовые коэффициенты, определяемые как линейные комбинации известных коэффициентов a ₁, a ₂, …, a_u).

Если состояние реальной системы при заданных нагрузках не является безмоментным, как, например, в раме (рис. 1.1, а), то для перехода к идеализированным нагрузкам выполняется обычный расчет системы (результат – эпюры М и N, представленные на рис. 1.1, б, в), после чего в узлы рамы прикладываются сосре-

б) 3MC /(2h)

F 2     в) ql /2

F 1 = ql /2 г) F 1 F 1   F 2 = 3MC /(2h)

Рис. 1.1

доточенные силы, равные найденным продольным силам в стерж-нях, примыкающих к соответствующим узлам (см рис. 1.1, г). Направления узловых нагрузок назначаются согласно знакам продольных сил. Соотношение q и F должно быть известно, тогда определению подлежит критическое значение одного из них – q_cr или F_cr. Заметим, что точки а ₁ и а ₂ , где приложены силы F, следует включить в число расчетных узлов при формировании основной системы метода перемещений.

Допущения 3 и 4 – обычные для метода перемещений. Так же как в расчетах на прочность, они вносят весьма малые погрешности в результаты исследования устойчивости, обеспечивая в то же время значительное упрощение решения задачи. Введение условия l_j означает пренебрежение сближением концов изгибаемого стержня как величиной столь же малой в сравнении с прогибами, как прогибы по отношению к длине стержня.

Рабочие гипотезы 5 и 6 не носят принципиального характера – следствием их является некоторое упрощение математической стороны решения. При необходимости от них отказываются (например, в тех случаях, когда нельзя пренебрегать деформацией сдвига – для элементов сквозного сечения, тонкостенных или изготовленных из материалов с низким модулем сдвига; или при наличии в системе растянутых стержней целесообразно учесть их благоприятное влияние на устойчивость сооружения). Отказ от этих предпосылок не изменяет, в основном, ни последовательности расчета, ни структу­ры основных уравнений.

Самыми сильными из всех допущений являются первые два, представляющие собой общие предпосылки линейной теории устойчивости. Свойст­ва, которыми они наделяют расчетную схему, могут заметно отличать­ся от свойств реального сооружения. Но зато радикально упрощается процедура расчета, который выполняется в бифуркационной постановке.

В заключение отметим, что из всех допущений только отрицание сближения концов стержня при его изгибе и требование узлового загружения являются специфическими для решения задач устойчивости методом перемещений.