Критерий устойчивости Найквиста

Был разработан в 1932 г. Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (замкнутой системы) по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до не обхватывала току с координатами

Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, представлены на рисунках.

Устойчивые замкнутые системы Неустойчивая замкнутая системы.

Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации стоит использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывает точку с координатами в положительном направлении r/2 раз, где r – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, т.е. находится на границе устойчивости. В этом случае ее передаточную функцию можно записать в виде

Где - характеристический полином устойчивой системы.

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь неопределенность при : при этом амплитуда , а фаза скачком изменяется на 180’. Для получения определенности характеристику при построении дополняют полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на положительной вещественной полуоси. Такое дополнение разомкнутой системы позволяет использовать формулировку критерия Найквиста.

Сформулируем теперь условие устойчивости. Замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если при некоторой частоте амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами .

Пример показан на рисунке

Критерий Найквиста можно применять и в общем случае, когда система содержит неединичную отрицательную обратную связь.

Пример.

Проверить устойчивость системы управления с помощью критерия Найквиста.

Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы.

.

Согласно критерию Гурвица, разомкнутая система устойчива. Перейдем теперь к выражению для амплитудно-фазовой частотной характеристики

И выделим ее вещественную и мнимую части

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы, изменяя от 0 до .

		0, 5
		-16/3
			-2/3

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку

, следовательно, замкнутая система устойчива.