Математическая формализация задачи в декартовых координатах

Рассмотрим задачу об определении абсолютной скорости и ускорения для случая сложного движения с формальной, математической точки зрения. Для простоты вначале разберём задачу, когда движение происходит в одной плоскости.

Имеем две среды, неподвижную и подвижную , и точку , которая находится в подвижной среде и движется в ней. Задача состоит в том, чтобы найти движение т. (т. координаты, скорость и ускорение) в неподвижной среде, если известно как движется среда в среде , и как движется т. в среде . Введём для каждой среды свою прямоугольную систему координат (Фиг.4). Обозначим интересующие нас координаты т. в неподвижной среде , а известные координаты т. в подвижной среде .

Фиг.4.

Известные из аналитической геометрии формулы преобразования координат устанавливают зависимость между координатами точки в двух системах:

(1.2)

(1.3)

С течением времени координаты т. изменяются. Определим их скорость изменения. Известно, что математическим представлением скорости является производная по времени от функции, определяющей координату. Продифференцируем функции (1.2) и (1.3).

(1.4)

(1.5)

Здесь буквы с точками означают производные соответствующих параметров по времени. В формуле (1.4) выражение представляет проекцию вектора скорости т. в подвижной среде

на ось неподвижной среды. Это следует из геометрического построения на Фиг. 5.