Естественный способ задания движения точки. Определение

скорости и ускорения

Естественный способ задания дв-я точки.

При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки, 2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)

Введем единичный орт касательный t. Векторtнаправлен в сторону возрастания дуговой абсциссы, модульê tê =1

Вектор скорости Vопр-ся: V=st.

Если s> 0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по векторуt, а еслиs< 0, то вектор скорости напрвлен в сторону убывания дуговой абсциссы.

V=s- алгебраическое зн-е скорости.

Естественный способ задания движения точки

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при естественном способе задания ее движения, то есть когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде s = s(t).

В этом случае векторы v и a определяют по их проекциям не на оси системы координат Oxyz, а на подвижные оси Pnb, имеющие начало в точке Р и движущиеся вместе с нею (см.рис.). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника, направлены следующим образом:

· ось Pнаправлена по касательной к траектории в сторону положительного направления отсчета координаты s;

· ось Pn направлена по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

· ось Pb направлена перпендикулярно к первым двум осям Pи Pn так, чтобы она образовала правую систему осей (с положительного направления оси Pb поворот оси Pк оси Pn в их плоскости на прямой угол виден происходящим против хода часовой стрелки).

Нормаль Pn, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль Pb - бинормалью.

Определение скорости точки при естеств

Вектор скорости v точки направлен по касательной к траектории и определяется одной проекцией, равной первой производной от криволинейной координаты s этой точки по времени:

= ds / dt =.

Величину, которая может быть как положительной, так и отрицательной, называют числовым (или алгебраическим) значением скорости.

Модуль скорости v = | | и, следовательно, значения v имогут отличаться лишь знаком:

v =, если точка движется в положительном направлении отсчета координаты s, или
v = -, если точка движется в противоположном направлении.

Таким образом, величина определяет одновременно и модуль скорости, и сторону, в которую направлен вектор v вдоль касательной.

Определение ускорения точки при естеств

Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости Pn и определяется двумя проекциямии an (ab = 0):

проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от алгебраической скорости или второй производной от криволинейной координаты точки по времени:

= d / dt = d2s /dt2 или = =.

проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой:

an = v2 /.

Величины и an соответственно называют касательным и нормальным ускорениями точки.

Вектор ускорения a является векторной суммой касательной составляющей, напраленной вдоль касательной P, и нормальной составляющей an, направленной вдоль главной нормали Pn:

a = + an.

При этом составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Pв зависимости от знака проекции, а составляющая an будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой, так как проекция an0.

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора a определяется по формуле:

a = (2 + an2).