Следствия из преобразований Лоренца

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x ₁ и x ₂ в один и тот же момент времени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x '₁ и x '₂ в разные моменты времени t '₁ и t '₂:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсчета между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциальные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (v_x, v_y, v_z), то его скорость v ' = (v'_x, v'_y, v'_z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме

5. Из соотношений (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v ²=(v_x)²+(v_y) ²+(v_z) ²= c ², (n6)

получим

v' ²=(v'_x)²+ (v'_y)²+(v'_z) ²= c ². (n7)

Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v ' в общем случае различны в разных системах отсчета.

Преобразования Лоренца и следствия из них

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ ₀ = t'₂ – t'₁ (собственное время), где t'₁ и t'₂ – показания часов в системе K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'₁ ≠ x'₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'₁ = t'₂ = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе

36 Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ спостоянной скоростью Система K’ движется относительно системы K в том же направлении со скоростью v, Определим, чему равна скорость материальной точки v_o, относительно системы K, т.е. чему равно . Пусть при м.т. находится в начале координат, причем . Для системы K:

Подставляя и t в формулу для v_o

Делим числитель и знаменатель на t

Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей. При малых значениях скоростей и имеем

т.е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический

Релятивистский закон сложения скоростей: если в неподвижной ситеме отсчета скорость тела и скорость движущейся системы отсчета направлены по одной прямой, то:

37 Зависимость массы от скорости. Релятивистская энергия