Цепные (лестничные) схемы. ( Схема Кауэра ).

Запишем Z(P) и Y(P) соответственно для первой и второй схем.

1. 2.

ЗАДАЧА

Найдем Z, K=L₁ тогда,

Пусть задано Z(P) выясним, что удовлетворяет ли оно критериям физической реализуемости, и преобразуем его формуле Кауэра .

Запишем полиномы A(P) и B(P) по убывающим степеням. Последовательно делим числитель и знаменатель с понижением степени переменной, так чтобы в конце получился 0. Получаем что степень числителя больше степени знаменателя.

Пример второй реализации в книге Шебест «ТЛЭЦ».

Для второго случая.

Если в аналитическом выражении Z(P) старшая степень полинома «В» выше старшей

Степени полинома «А», то первое деление будет и результат первого деления будет Y₁ и схема будет выглядеть следующим образом:

Если в аналитическом выражении Ζ (p) старшая степень полимера B выше старшей степени полинома A, то первое деление B/A и результат первого деления будет Y₁ и схема будет так:

Вывод: цепные схемы достаточно сложны для написания аналитического выражения Ζ и вычисления значения резонансных частот, но они очень удобны для синтеза схем двухполюсника по заданному аналитическому выражению.

Задача: преобразовать эту параллельно каноническую схему в цепную по первой реализации по Кауэру.

Z(P)=(pL₁+ ) + +pL₂+ = =2p⁴+3p²+ +2p= – cтепень отличается не больше, чем на 1; коэффициенты положительны, для реактивного двухполюсника один из многочленов является с четными степенями, другой с нечетными.

1) 2p⁴+3p²+1 3p³+2p

-

2p⁴+4/3p² 2/3p=Z

5/3p²+1=M₁

_2)3p³_{+2p 5/3p}²₊₁

_-

_3p³_{+9/5p 9/5p=Y1}

_1/5p=N1

3) +1 1/5

-

5/3p² 25/3p=Z₂

1=M₂

4)1/5p 1

-

1/5 1/5p=Y₂

Рисуем схему по данным вычислений

Эта схема эквивалентна заданной, частотные характеристики одинаковы и резонансы совпадают.

Вторая реализация по Кауэру

1+3p²+2p⁴

Примечание:

Если в заданной функции Z(p) степень числителя выше степени знаменателя, то реализацию по Кауэру производят путем деления числителя на знаменатель

Если степень знаменателя выше чем степень числителя, о реализацию производят делением знаменателя на числитель. При этом приходят к следующим формулам.

4.1.10 «Сокращаемые» элементы двухполюсников.

– такие элементы, добавление которых в схему не изменяет числа резонансов схемы.

Выявить являются те или иные элементы сокращаемыми или нет можно двумя способами:

1). Написать аналитическое выражение Z(P) или Z(ω) приравнять числитель (найдем резонанс напряжений) и знаменатель (найдем резонанс токов), т.е. выяснить число резонансов и сравнить с числом элементов.

2). Графически построить зависимость сопротивления от частоты, выяснить число резонансов и сравнить с числом элементов.

Пример:

Возникло подозрение не являются ли элементы L₃ и C₃ сокращаемыми.

Построим график.

Из графика видно, что он дважды пересекает ось Z=0, т.е. имеет два резонанса напряжений и один резонанс токов. Данную схему можно представить в виде схемы имеющей 4 элемента.

Добавление L_13, C₃ не изменило общего числа резонансов, а привело к сдвигу резонансов напряжений.

ПРИМЕР: Число резонанса получилось n-3, где n – число элементов схемы, это значит, что два элемента будут сокращаемыми.