Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана

Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25):

- при догрузке

- при разгрузке

Нейтральная ось дополнительных деформаций не совпадает с центральной осью, как при упругом изгибе, и определяется координатой . Поэтому представим их в виде:

(9.65)

Эп. Эп.

Рис. 9.25 Рис. 9.26

Величина даёт границу зон пластической догрузки и упругой разгрузки с площадями и соответственно. На границе раздела зон имеем:

откуда следует:

Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде

(9.66)

Вычислим с учётом (9.65) дополнительные нормальную силу и момент , возникающие при выпучивании стержня по методу проб Эйлера – Кармана – Зубчанинова:

откуда находим

(9.67)

где

Так как

то, исключая , , , соотношения (9.67) приведём к виду:

(9.68)

где

(9.69)

Величина К называется приведённым модулем Кармана–Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16, б) имеем:

(9.70)

Сравнивая (6.66), (9.70), получим:

(9.71)

(9.72)

Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:

(9.73)

Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение

(9.74)

из которого можно найти границу раздела зон . При этом изгибная жёсткость также будет постоянной величиной. Дифференциальное уравнение (9.73) может быть записано в виде:

(9.75)

где

(9.76)

Таким образом, задача о потере устойчивости за пределом упругости свелась к решению уравнения (9.75), которое совпадает с уравнением (9.27) для упругой задачи Эйлера. Отличие задач заключается в различии выражений (9.27) и (9.76) для величины . Поэтому формула для нагрузки бифуркации за пределом упругости может быть получена из формулы Эйлера (9.33) простой заменой модуля Е на приведённый модуль К:

(9.77)

Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её также называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид: -

(9.78)

Так как К зависит от , то построение диаграммы бифуркационных значений напряжений производится так же, как и для задачи Энгессера. Формула (9.75) представляется в виде:

(9.79)

Задавая , вычисляют , а затем гибкость и строят диаграмму . Вычислим приведённый модуль для некоторых частных случаев поперечного сечения.

а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27, а). Геометрические характеристики сечения:

Уравнение (9.74) принимает вид

откуда находим границу раздела зон:

а) б)

Рис. 9.27

Согласно соотношению (9.69) получим:

(9.80)

б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27, б)

Уравнение (9.74) принимает вид

откуда находим границу раздела зон:

Приведённый модуль , согласно (9.69), равен:

(9.81)

Из (9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль явно зависит от , . Поэтому при построении диаграммы критических (бифуркационных) напряжений сначала строятся зависимости и от . На основании диаграммы сжатия (рис. 9.28, а) находится касательный модуль как функция напряжения , а затем по формулам (9.69), либо (9.80), (9.81) вычисляется приведённый модуль . После этого по формуле (9.79) строится диаграмма критических напряжений .

Приведём более простой вывод формулы Кармана для приведенно-модульной критической силы. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя буквой в отличие от радиуса оси стержня. Расстояние от нейтрального слоя до текущего волокна , а перемещение точек этого слоя .

а) б) в)

Рис. 9.28

Тогда дополнительные напряжения:

где принято

Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:

(9.82)

где

статические моменты и моменты инерции площадей F1, F2 для зон пластической догрузки и упругой разгрузки; – момент инерции всей фигуры относительно нейтральной оси,

(9.83)

приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем:

Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения:

После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:

(9.84)

где

(9.85)

Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27, а) второе уравнение (9.84) с учётом:

принимает вид

откуда

Следовательно,

Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения.

Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и проверил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пределов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории приведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0, 005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня.

Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.