Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.

Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.

3.3.2. Критерий устойчивости Гурвица.

Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

1) по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов;

2) столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх- по возрастающим индексам;

3) места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Характеристическое уравнение системы имеет вид

где все коэффициенты строго больше нуля. Получим

.

Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

а_k> 0, k=0, 1, 2,...5;

D₂ =а₁а₂ - а₀а₃> 0;

D₃=а₃D₂ - а₁²а₄> 0;

D₄ =а₄D₃ -а₂а₅D₂ + а₀а₅(а₁а₄ - а₀а₅)> 0;

D₅ =а₅D₄> 0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а_n> 0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до D_n-1 включительно. Доказано, что если D_n-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия D_n-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.

Пример. Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.

u^* Ä k_u Ä W_рп(s) W_wz(s) 1/s u

- -

k_wz

Рис.3.3. Структурная схема системы стабилизации угла тангажа.

На схеме обозначено:

k_u- передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;

передаточная функция рулевого привода;

передаточная функция самолета по угловой скорости тангажа w_z;

k_wz - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.

Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать

где

Передаточная функция замкнутой системы примет вид

где

Составим определитель Гурвица

Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:

.

При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим

Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и

Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.

Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.

Отсюда

В последнем выражении только d₃ и d₄ являются функциями коэффициента k_u и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента

Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа

Система устойчива, если ku< 16.56.

3.3.3. Критерий устойчивости Рауса.

Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.

Таблица Рауса

i k (номер столбца)

(номер

строки) 1 2 3 4 5 6 7 8.......

	d0	d2	d4	d6	d8	d10	d12	d14	.......
	d1	d3	d5	d7	d9	d11	d13	d15	.......
	c13	c23	c33	c43	c53	c63	c73	.....	.......
	c14	c24	c34	c44	c54	c64	c74	......	.......
	c15	c25	c35	c45	c55	c65	.....	.......	.......
	c16	c26	c36	c46	c56	.......	........	......	........
	c17	c27	c37	c47	.......	.......	.........	.......	.......
	c18	c28	c38	.......	........	.......	.........	........	.........

Элементы каждой строки для i> 2 вычисляются по формуле

(3.13)

Для того, чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости и система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были строго положительны.

3.4. Частотные критерии устойчивости

3.4.1. Принцип аргумента.

Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

Если l_i, i=1, 2,...n- корни этого уравнения, то

Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ½ l_i½, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=jw и получим

В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw - l_i) находиться на мнимой оси.

jw jw - l₃

jw- l₁ l₃

l1

jw - l2 l4

l2 jw - l4

Рис. 3.4. К определению принципа аргумента   Аргумент вектора D(jw) равен сумме аргументов элементарных векторов Направление вращения вектора (jw - li) против часовой стрелки при изменении частоты от -¥ до +¥ принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -¥ до + ¥ каждый вектор (jw - li), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол +p, а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -p. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом будет (3.14) Это выражение и определяет принцип аргумента. Изменение аргумента вектора D(jw) при изменении частоты от -¥ до +¥ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p. 3.4.2. Критерий устойчивости Михайлова. Из (3.14) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m=0, то (3.15) Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова. Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от -¥ до +¥ изменение аргумента вектора D(jw) будет равно np, где n - порядок характеристического уравнения. Вектор D(jw) можно представить в виде Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U(-w)=U(w); V(-w)= -V(w) и D(- jw)=U(w) - jV(w). Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до + ¥. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей. Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до +¥ вектор D(jw) повернется на угол np/2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с положительной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов и заканчивается в n-ом квадранте (рис.3.5). Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.3.6), то система неустойчива. Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U(w)=0 и V(w)=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V(w)=0 лежит один корень уравнения U(w)=0. Системаавтоматического управления устойчива, если корни уравнений V(w)=0 и U(w)=0 вещественные и перемежаются между собой. Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая: 1) характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при аn = 0; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат; 2)характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней jwk и D(jwk)=U(wk)+jV(wk)=0, что может быть только если одновременно U(wk)=0 и V(wk)=0; это означает, что кривая Михайлова проходит через начало координат.   Рис. 3.5. Кривые Михайлова для Рис. 3.6. Кривая Михайлова для устойчивых САУ неустойчивой САУ   Используя критерий Михайлова, можно определить критические значения параметров системы, при которых она находиться на границе устойчивости, в частности критический коэффициент усиления. Для этого нужно решить систему уравнений (3.16) Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа ku. Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид Сделаем замену s=jw и выделим вещественную и мнимую части Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7. Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.   Рис. 3.7. Кривая Михайлова для системы стабилизации угла тангажа   Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U(w)=0 и V(w)=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси корни уравнения U(w)=0   2.2 25 42.17

корни уравнения V(w)=0

Рис. 3.8. Расположение корней на числовой оси.

Корни вещественные и перемежаются между собой. Система стабилизации угла тангажа устойчива.

 

3.4.3 Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:

Введем функцию

(3.17)

где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим

(3.18)

Вектор N(jw) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.

1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до ¥

(3.19)

Изменение аргумента вектора D(jw) в общем случае равно

(3.20)

 

где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости.

Изменение аргумента вектора Найквиста будет

(3.21)

Если замкнутая система устойчива, то m=0 и

Так как при w®¥, W(jw)®0, то N(jw)®1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до ¥. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1, j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

а) б)

Рис. 3.9. К определению критерия Найквиста

Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.

Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.

где полином A₁(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=¥ и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -¥ до +¥ наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.

Рис. 3.10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ

При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону

где фаза j(w) изменяется от - p / 2 до + p / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим

где R®¥ при r®0, а фаза j(w) изменяется от +p / 2 до - p / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(jw) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.

Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(jw) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.

2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае

где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то

(3.22)

т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1, j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j сw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ охватывает критическую точку (-1, j0) в положительном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.

Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.

Переход годографа W(jw) через отрезок вещественной полуоси (-¥, -1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.

(3.23)

где число положительных переходов, число отрицательных переходов.

Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.

Рис. 3.11. АФЧХ ракеты “Авангард”

Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления, а и Замкнутая система будет устойчивой.

3.4.4. Запасы устойчивости.

Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.

Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 3.12.

Рис. 3.12. АФЧХ разомкнутой системы

Угол g, образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы по фазе.

(3.24)