Если система устойчива и ее движение таково, что , то эта система асимптотически устойчива.

Отсюда следует, что на рис. 3.1 кривая 1 соответствует неустойчивой системе, кривая 2 - устойчивой системе, а кривая 3-асимптотически устойчивой системе.

А.М. Ляпунов разработал различные методы оценки устойчивости САУ. Прямой, или так называемый второй метод Ляпунова, применим для исследования всех классов систем и основан на использовании специальных функций Ляпунова. Мы уже говорили, что значительное число систем допускают линеаризацию по методу малого отклонения и Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом, т.е. при малых отклонениях, исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации.

3.2 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения.

Любое линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида

, (3.12)

где l_i - корни характеристического уравнения, x_т(t) - частное решение, определяющее требуемое движение системы. Отклонение от заданного движения запишется в виде

Отсюда следует, что если все корни характеристического уравнения отрицательны (имеют отрицательную вещественную часть), то и линейная система асимптотически устойчива. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то и линейная система неустойчива. Можно ли по корням характеристического уравнения линеаризованной системы оценить устойчивость исходной нелинейной системы при малых отклонениях? А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы об устойчивости в малом.

Теорема 1. Если вещественные части a_k всех корней a_k jb_k характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы асимптотически устойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.

Критические случаи, когда нельзя судить об устойчивости по уравнениям первого приближения, возникают, если среди всех корней имеется группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальные имеют отрицательные вещественные части.

Рассмотрим рисунок.

b l_i

l_k

a

l_k+1

l_i+1

Рис. 3.2. Расположение корней системы на комплексной плоскости.

Корни характеристического уравнения, имеющие отрицательные вещественные части расположены в левой полуплоскости и называются устойчивыми корнями (полюсами) системы. Корни с положительными вещественными частями расположены в правой полуплоскости и являются неустойчивыми полюсами системы. С этой точки зрения мнимая ось является границей устойчивости и штрихуется слева.

Представляет интерес часто встречающийся случай, когда характеристический полином системы имеет один нулевой корень, а остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует уравнению системы, в котором равен нулю свободный член a_n.