Метод половинного деления (бисекции)

Рис. 2.5. Схема метода бисекции

4. Новый «суженный» отрезок [ a₁, b₁ ] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.

5. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (2.1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков,

[ a₁, b₁ ], [ a₂, b₂ ], …………………[ a_n, b_n ]

таких, что f(a_i,) f(b_i)< 0, (i =1, 2, …..) (2.8)

и (2.9)

Левые концы a₁, a₂,..., a_n, … и правые концы b₁, b₂,..., b_n, … этих отрезков образуют монотонные последовательности, соответственно неубывающую и невозрастающую.

Доказывается утверждение, что существует общий пре-дел x *, который является корнем уравнения (2.1).

(2.10)

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ по следующей схеме.

Для нахождения приближенного значения корня уравнения (2.1) с заданной точностью e необходимо циклически повторить следующую последовательность действий:

1. отрезок [ a, b ] делим пополам ,

2. если │ f(x)│ > ε, переходим на пункт 3, иначе – на пункт 5,

3. если f(x)*f(b) ≤ 0, то принимаем a = x, иначе b = х. Т.е. из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, и новый «суженный» отрезок вновь называем отрезком [ a, b ],

4. если │ a-b │ > ε, то выполняется пункт 1, иначе – пункт 5.

5. в качестве приближенного решения уравнения (2.1) с заданной точностью ε принимается .

G Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня заданного уравнения, поскольку при увеличении точности объем вычислительной работы значительно возрастает.