Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Занятие №3. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат
Цель занятия: усвоить правило вычисления двойного интеграла в полярных координатах на уровне умения решать типовые задачи.
Учебные вопросы
1. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат. 2. Переход от декартовых координат к полярным при вычислении двойных интегралов.
Ход занятия
Вспомним, что если область интегрирования двойного интеграла отнесена к системе полярных координат то и обычно
Задача 1. Решить самостоятельно. Вычислить интеграл:
Задача 2. Вычислить интеграл: где окружность радиуса а. Решение. Построим окружность Видим, что r изменяется от 0 до а, а - от 0 до (рис. 12). Воспользуемся формулой (*), получим: Вычисление начинаем, как обычно, с внутреннего интеграла: Затем Ответ:
Задача 3. Вычислить двойной интеграл где область ограничена линиями и Решение. Построим область D (рис. 13). Чтобы определить, как изменяется в области полярный угол проведем лучи в точки А и В области D. Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область D, найдем значения угла Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса r. Из полюса проведем произвольный радиус. Видим, что он пересекает линию а при выходе из области – линию По формуле (*): Внутренний интеграл: Внешний интеграл: Ответ:
Задача 4. Решить самостоятельно по образцу задач 2 и 3. Вычислить двойной интеграл если область D: 1) круговой сектор, ограниченный линиями 2) полукруг 3) заключена между линиями
Задача 5. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл где круговое кольцо, заключенное между окружностями и Решение. Пользуясь формулами связи декартовых и полярных координат получим и полярные уравнения данных окружностей (рис. 14). Тогда Ответ:
Рис. 14
|