Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция и её частные производные и определена в некоторой области D. Если существуют частные производные функций и по и в этой области, то они называются частными производными второго порядка:

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков от функции в области

Определение. Частные производные по различным аргументам вида и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные и смешанные частные производные второго порядка . Если непрерывны в точке , то они совпадают в этой точке, т.е. в точке выполняется соотношение:

.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Её дифференциал

является функцией переменной точки и функций приращений независимых переменных. Будем считать приращения независимых переменных постоянными, тогда дифференциал станет функцией точки и от него, в свою очередь можно брать дифференциал, если этот дифференциал существует.

Определение. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала:

.

Аналогично определяются дифференциал третьего порядка от функции :

И вообще, дифференциал го порядка от функции :

.

Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.