Решение. Способ 1. Рассматривается схема, нагруженная произвольным сопротивлением Z2, когда напряжение U2 и ток I2 отличны от нуля

Способ 1. Рассматривается схема, нагруженная произвольным сопротивлением Z ₂, когда напряжение U ₂ и ток I ₂ отличны от нуля. Полученная схема описывается системой уравнений Кирхгофа. Методом подстановки избавляются от промежуточных токов и напряжений, приводя систему уравнений к виду: U ₁ = А · U ₂ + В · I ₂;

I ₁ = С · U ₂ + D × I ₂.

При произвольной нагрузке в схеме рис. 5.4, а три неизвестных тока: I ₁, I ₂, I _L. По первому закону Кирхгофа I ₁ = I _L + I ₂,

по второму закону Кирхгофа U ₂ – I _L × jx_L = 0,

I ₁× (r – jx_С) + U ₂ = U ₁.

Из этих уравнений получаем: I ₁ = I ₂ + = С · U ₂ + D · I ₂,

откуда С = = = - j 0, 05 См, D = 1;

U ₁ = U ₂× ( 1 + ) + I ₂× (r – jx_С) = А · U ₂ + В · I ₂,

откуда А = 1 + = 1 + = 0, 5 – j 0, 5 = 0, 5 · е ^{- j ·45°},

В = r – jx_С = 10 – j 10 = 10 · е ^{- j ·45°} Ом.

Способ 2. Коэффициенты рассчитываются по уравнениям Кирхгофа для режимов холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника, когда основные уравнения принимают вид:

холостой ход U _{1 Х} = А · U _{2 Х} ; короткое замыкание U _{1 К} = В · I _{2 К} ;

I _{1 Х} = С · U _{2 Х} ; I _{1 К} = D · I _{2 К} .

По схеме рис. 5.4, а, соответственно, получаем:

I _{1 Х} = = С · U _{2 Х} ; U _{1 Х} = I _{1 Х} × (r – jx_С) + U _{2 Х} = U _{2 Х} × ( 1 + ) = А · U _{2 Х} ;

I _{1 К} = I _{2 К} = D · I _{2 К} ; I _{1 К} × (r – jx_С) = U _{1 К} = В · I _{2 К} = I _{2 К} × (r – jx_С).

Результаты расчёта коэффициентов совпали с ранее полученными.

Способ 3. Расчёт коэффициентов осуществим по сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника (рис. 5.4, а):

Z _{1 Х} = r – jx_С + jx_L = 10 – j 10 + j 20 = 10 + j 10 = 10 · е ^{j ·45°} Ом;

Z _{1 К} = r – jx_С = 10 – j 10 = 10 · е ^{- j ·45°} Ом;

Z _{2 Х} = jx_L = j 20 = 20× е ^{j ·90°} Ом;

Z _{2 К} = = = 20 Ом.

Из основных уравнений для режимов холостого хода и короткого замыкания

Z _{1 Х} = А / С, Z _{2 Х} = D / С, Z _{1 К} = В / D, Z _{2 К} = В / А.

Выбирая любые три соотношения с учётом свойства коэффициентов

А ∙ D – В ∙ С = 1, получаем сначала один из коэффициентов, а затем через выбранные три соотношения определяем остальные коэффициенты. Например, А = = .

Комплексное число, стоящее в знаменателе, можно в показательной форме записать двояко:

1) j 20 – 20 = 20 · е ^{j ·135°}; 2) j 20 – 20 = 20 · е ^{- j ·225°}.

Соответственно, получаем 2 значения коэффициента А:

А ₁ = е ^{- j ·45°}; А ₂ = е ^{j ·135°}.

Коэффициент А является в общем случае комплексным числом, которое в показательной форме имеет выражение А = а · е ^ja.

Модуль коэффициента а = определяется однозначно. А для аргумента a получаем два значения:

отрицательное a = a ₁= -45°, положительное a = a ₂= +135°.

Отбор единственного значения a произведём на основании векторной диаграммы цепи (рис. 5.4, б) для режима холостого хода четырёхполюсника, когда U _{1 Х} = А · U _{2 Х} = а · е ^ja · U _{2 Х} .

По векторной диаграмме получаем a < 0, тогда А = е ^{- j ·45°};

В = Z _{2 К} ∙ А = е ^{- j ·45°}× 20 = 10 · е ^{- j ·45°} Ом;

С = = = - j 0, 05 См;

D = Z _{2 Х} ∙ С = 20· е ^{j ·90°} ( - j 0, 05 ) = 1.

Входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке Z ₂ :

Z ₁ = = = = = = 20 Ом.

Задача 5.2. Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника, собран-ного по Т -схеме (рис. 5.5), если

х ₁ = 40 Ом, r ₂ = 10 Ом, r ₀ = х ₀ = 40 Ом.

Используя основные уравнения четырёхполюс-ника в форме А, определить ток I _{1 К} на входе при закороченных выходных зажимах, если U ₁ = 100 В.

Ответ: А = - j; В = - j 50 Ом;

С = 0, 025 – j 0, 025 См; D = 1, 25 – j 0, 25; I _{1 К} = 2, 55 А.

Задача 5.3. Найти элементы матри-цы [ H ] несимметричного четырёхполюсни-ка, собранного по П -схеме (рис. 5.6), если: r ₁ =10 Ом, r ₂ =20 Ом, x ₂ =20 Ом, х ₃ = 40 Ом. Используя основные уравнения четырёхпо-люсника в форме [ H ], определить напря-жение на входе при разомкнутых выходных зажимах, если U _{2 X} = 100 В.

Ответ: H ₁₁ = 7, 69 + j 1, 54 Ом; H ₁₂ = - H ₂₁ = 0, 231 – j 0, 15;

H ₂₂ = -0, 0231 – j 0, 00962 См; U _{1 X} = 50 B.

ЗАДАЧА 5.4. Для составления П -схемы заме-щения ЛЭП (рис. 5.7) и определения её входного сопротивления поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания: U _{1 X} = 30 кВ, I _{1 Х} = 6 А, Р _{1 Х} = 27 кВт, φ _{1 Х} < 0; U _{1 К} = 4, 5 кВ, I _{1 К} = 30 А, Р _{1 К} = 69 кВт, φ _{1 К} > 0.

Определить входное сопротивление ЛЭП Z при R_НГ = 1000 Ом, С_НГ = 10 мкФ.

Ответ: A = D = 0, 9885× е ^{j 0, 53°}; B = 148, 3× е ^{j 59, 80°} Ом;

C = 0, 198∙ 10 ^-3× е ^{j 81, 91°} См; Z _{1 П} = Z _{2 П} = 10 ⁴× е ^{– j 81, 64°} Ом; Z _{0 П} = 148, 3× е ^{j 59, 80°} Ом;

Z _ВХ = 986× е ^{– j 19, 75°} Ом.

ЗАДАЧА 5.5. Известны уравнения А -формы четырёхполюсника:

U ₁ = - j 50× I ₂ + 1, 75× U ₂;

I ₁ = 0, 5× I ₂ – j 0, 0025× U ₂.

Требуется получить Т -схему замещения четырёхполюсника, а также записать уравнения в Н -форме.

Ответ: Z _{1 T} = j 300 Ом, Z _{2 T} = - j 200 Ом, Z _{0 T} = j 400 Ом;

H ₁₁= - j 100 Ом, H ₁₂ = 2, H ₂₁ = -2, H ₂₂ = - j 0, 005 См.

Задача 5.6. Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника рис. 5.8, а, если х_L = 80 Ом, х_C = 40 Ом, r ₃ = r ₄ = 40 Ом.