Решение задачи распространения тепла в ограниченном стержне. Метод разделения Фурье.

Решение задачи означает нахождение конкретного вида (частного) функции - частного решения исходного дифференциального уравнения.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом разделения Фурье. Алгоритм решения по этому методу для данного примера следующий:

- представление функции как совокупности функций в раздельных переменных

- нахождение решений функций и раздельно

- объединение решений функций и

- нахождение искомого частного решения исходной функции

2.3.1 Преобразование исходной функции

Преобразуем функцию и подставим ее в исходное уравнение:

Поскольку под знаком производной стоят функции от одного аргумента (по которому и берется производная), то частные производные обратятся в обыкновенные:

Это уравнение в разделенных переменных, которое можно записать в виде:

или в кратком виде

Так как правая и левая части этого уравнения зависят от разных переменных, то они равны только в том случае, если являются константой, т.е. при:

что равносильно записи и

2.3.2 Поиск решений функции

Будем искать решение уравнения , для чего примем и отсюда:

Получим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Для его решения необходимы краевые условия, которые наследуются из краевых условий исходной задачи:

и

В итоге пришли к тому, что нам необходимо решить систему:

Данная система представляет собой т.н. задачу Штурма-Лиувилля, связанную с нахождением общего решения дифференциального уравнения системы с учетом всех возможных значений параметра .

Можно показать, что общее решение данного уравнения запишется в виде:

где - константа. Среди всего множества значений нетривиальному решению (отличному от нуля) выбираются только удовлетворяющие следующему условию:

где . Т.е. от бесконечного множества решений переходим к бесконечному счетному множеству вида:

зависящему от (в т.ч. с константой различной для разных )

2.3.2 Поиск решений функции

Будем искать решение уравнения

Получим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Поскольку значения параметра уже получены, то искомое решение данного уравнения сразу можно записать в виде:

где - константа.

2.3.3 Объединение решений

Подставляя полученные решения в формулу получим следующую запись:

Данное уравнение отражает множественность общих решений дифференциального уравнения в частных производных. Доказано, что линейная комбинация общих решений также является общим решением, поэтому «наиболее полное» общее решение исходной задачи представляется зависимостью в виде ряда:

2.3.4 Нахождение частного решения

Для нахождения частного решения (а с ним и решения задачи) необходимо воспользоваться начальным условием :

Для любых нет значений коэффициентов приводящих данное выражение в верное тождество. Соответственно только при уравнение имеет искомое решение, при этом коэффициент определиться следующим образом:

,

а остальные коэффициенты будут равны нулю: , .

Итоговое частное решение уравнения (задачи) запишется так:

Для проверки найденного решения его необходимо подставить в исходное уравнение:

получаем верное тождество.