Статистические игры без экспериментов

ВВЕДЕНИЕ

Во многих практических задачах управления приходится анализировать ситуации, в которых одной из оперирующих сторон выступает " природа", особенностью которой является безразличие к исходу операции. Несмотря на то, что в этих задачах нет сознательного противника (как, например, в случае конфликтной ситуации), сложность проблемы заключается в том, что оперирующая сторона не может представить себе образ действия " природы".

Для решения таких задач используется теория статистических игр, рассматривающая две большие группы ситуаций:

- статистические игры, в которых невозможно проведение экспериментов;

- статистические игры с возможностью проведения экспериментов.

В настоящей лабораторной работе изучаются простейшие приближенные методы решения статистических игр.

Цель работы. Ознакомление с основными понятиями теории статистических игр и изучение приближенных методов решения статистических игр с возможностью проведения экспериментов и без экспериментов.

ЗАДАНИЕ

1. Ознакомиться с предлагаемыми методами решения статистических

2. Реализовать подпрограмму генерации игровой ситуации, в соответствии с

реализуемым методом решения игры.

3. Построить алгоритм одного из рассматриваемых методов, указанного

преподавателем.

4. Разработать программу, реализующую построенный алгоритм.

5. Сделать итоговые выводы по результатам работы программы.

6. Оформить отчет о выполненной лабораторной работе, отчитаться преподавателю.

ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЯЗЫКОВЫЕ СРЕДСТВА

Для выполнения работы используются ПЭВМ с процессором не ниже 386. При написании программ могут использоваться такие языки программирования, как BASIC, PASCAL, С++.

Статистические игры без экспериментов

Ситуация с формальной точки зрения совпадает с матричной игрой, т.к. может быть задана в виде таблицы выигрышей оперирующей стороны, строки которой соответствуют нашим стратегиям x_i, а столбцы - стратегиям " природы". П_j которые здесь называются возможными состояниями природы.

Отличие от стратегической теории игр концептуальное: мы не можем приписать природе какой-либо осознанный или целенаправленный образ поведения. Матрица выигрышей в конкретном случае может имеет следующий вид:

Существует другой способ описания ситуации - задание матрицы риска. Для этого в каждом столбце находим максимальное значение выигрыша

_j =max_ia_ij Затем строим величину - риск в ситуации r_ij.

Для нашего примера матрица риска такова:

Возможны три ситуации, связанные с данной задачей:

1. Известны вероятности, с которыми наступает состояние " природы".

2. Вероятности не известны, но по их значениях можно судить с некоторой достоверностью (на основании нашего опыта или опыта эксперта).

3. Ничего не знаем о вероятностях.

Рассмотрим первый случай. Вероятности известны, но в то же время нет никакой возможности их уточнить. В этой ситуации можно поступить следующим образом: либо максимизировать средний выигрыш, либо минимизировать средний риск.

Пусть - вероятность состояний " природы" П_j (q_j ® p(П_j)). Тогда средний выигрыш будет равен:

a₁ = 2*0.1+4*0.2+5*0.5+9*0.2=5.30; аналогиxно рассчитываем a₂ и a₃

a₂ = 4, 50;

a₃ = 5, 00;

Рассмотрим случай неидеального эксперимента.

В этом случае мы имеем следующие исходные данные:

1. Стратегии статистика = (x₁, x₂,..., x_m)

2. Вектор состояния природы = П₁, П₂,..., П_n.

3. Вектор априорных вероятностей = q₁, q₂,..., q_n.

4. Матрицу выигрышей

5. Множество возможных исходов единичного эксперимента = {S₁, S₂,..., S_k}

6. Матрицу условный вероятностей W = {w_ij =P(S_j /П_j}

7. Стоимость эксперимента C.

В этом случае необходимо решить два вопроса:

1. Целесообразно ли проводить эксперимент?

2. Если проводить эксперимент целесообразно, то определить, какая из стратегий должна быть выбрана в качестве оптимальной. Если в результате эксперимента возникает ситуация, то используя формулу Байеса, можно рассчитать апостериорные вероятности:

Определяем для каждой стратегии средний выигрыш с учетом постериорных вероятностей:

a_ji -условный средний выигрыш от стратегии при условии, что эксперимент дал результат S₁.

Находим соответствующий оптимально-средний выигрыш:

где il-номер стратегии при исходе S₁.

Для усреднения этого результата по всем возможным исходам нужно найти вероятности каждого исхода:

Находим средний выигрыш при условии проведения эксперимента:

Необходимо сравнить полученный результат C:

Очевидно, что эксперимент следует проводить при условии:

Решающее правило задается формулой (*). Если правило (***) не выполняется, то необходимо пользоваться формулой (**).

Пример: Дана матрица платежей:

Таблица 1.

Таблица 2.

Если эксперимент не проводить, то по первой таблице мы можем легко определить оптимальную стратегию с выигрышем 5.3.

Перейдем к определению условно максимально средних выигрышей a₁

и условно оптимальной стратегии x_il. Начинаем с исхода S₁. Определим апостериорные вероятности v₁₁ , v₂₁, v₃₁, v₄₁:

Теперь вместо первой таблицы мы имеем таблицу для исхода S₁.

Итак, обрабатывая эту таблицу по известному алгоритму, мы находим, что для условно оптимальная стратегия i_l=2, условно максимальный выигрыш a₁=5.385.

Аналогично для S2

Аналогично для S3

Получаем:

Для S₂ условно максимальный выигрыш a₁=5.559

Для S₃ условно максимальный выигрыш a₁=5.55.

Таким образом, максимальный средний выигрыш составит: a_экс=0.46*5.385+0.42*5.559+5.55*0.2 = 5.92, согласно (**), а = 5.3, С < a_экс - a = 5.92-5.3=0.62. Можно сделать вывод о целесообразности проведения эксперимента в случае, когда С < 0.62.