Определение2.

Число называется пределом последовательности , если для каждого > 0 существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:

Если — предел последовательности, то пишут: .

Теоремы о пределах:

ТЕОРЕМА №1: (о единственности предела)

Если переменная имеет предел, то этот предел единственный.

ТЕОРЕМА №2: (о предельном переходе в неравенстве.).

Пусть при всех n выполняется неравенство , и переменные и имеют пределы:

Тогда: , т. е.

Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.

ТЕОРЕМА №3: (о стабилизации знака неравенства.).

Пусть предел и , тогда, начиная с некоторого номера n, переменная .

ТЕОРЕМА№4: (арифметические операции над переменными, имеющими предел).

Пусть существуют пределы: и , тогда существуют пределы переменных:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

ТЕОРЕМА №5: (об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел, тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.

ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.