Метод Гаусса. Cистемой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Cистемой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i =1, …, m; b =1, …, n) – некоторые известные числа, а x₁, …, x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁, …, b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁, …, c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁, …, c_n вместо соответствующих неизвестных x₁, …, x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.