Характеристик линейных динамических звеньев САР

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является ознакомление с амплитудно-фазовыми частотными характеристиками (АФЧХ) линейных динамических звеньев САР, изучение годографов комплексных коэффициентов передачи (ККП) для элементарных звеньев и исследование влияния отдельных параметров звеньев на поведение и устойчивость системы.

2. ЛАБОРАТОРНО - ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

2.1. Задание первое. Запишите выражения для амплитудных и фазовых частотных характеристик элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирующего, инерционного и форсирующего.

Указания по выполнению. Следует воспользоваться выражениями для передаточных функций элементарных звеньев, полученными при выполнении лабораторной работы № 1:

- для интегрирующего звена:

- для дифференцирующего звена:

- для инерционного (апериодического) звена:

· для форсирующего звена:

K(p)= k(Tp + 1).

Для перехода от операторной формы передаточной функции (ПФ) к комплексному коэффициенту передaчи (ККП), определяющему амплитудно-фазовую частотную характеристику звена (АФЧХ), следует в выражениях для ПФ принять p=jw. Тогда получим:

- для интегрирующего звена:

- для дифференцирующего звена:

K(jw)= k(jw); (2)

- для инерционного (апериодического) звена:

-для форсирующего звена:

K(jw) = k[T(jw) + 1]. (4)

Для перехода к амплитудным и фазовым частотным характеристикам в (1 - 4) следует перейти сначала к алгебраической форме с выделением действительной и мнимой частей, а затем - к экспоненциальной форме представления комплексных функций:

K(jw) = u(w) + jv(w), (5)

K(jw) = A(w) e^-jj(w), (6)

где A(w) - модуль ККП (амплитудная частотная характеристика звена),

j(w) - аргумент ККП (фазовая частотная характеристика звена),

A(w) = Ö u²(w) + v²(w), (7)

j(w) = arctg v(w)/u(w). (8)

При нахождении модуля ККП, то есть АЧХ звена, следует использовать известные свойства комплексных чисел: модуль дроби равен модулю ее числителя, деленному на модуль знаменателя, а модуль произведения равен произведению модулей сомножителей. Например, модуль ККП вида

целесообразно искать в форме

не переходя к прямой алгебраической записи вида (5).

При нахождении аргумента ККП, то есть ФЧХ звена, следует помнить, что аргументом комплексного числа

c = a + jb

является число

arg(c) = arc tg(b/a) = Arc tg(b/a) + np,

неоднозначно определяемое на интервале [0; 2p], для которого возможны два значения числа n: n=0 или n=±1. В частности, числа

c = a + jb и d = -a - jb

имеют одно и то же главное значение арктангенса, равное a/b, однако аргументы (фазовые углы) их различны, так как соответствующие им координаты конца вектора на комплексной плоскости лежат в разных квадрантах: у числа c - в первом квадранте, а у числа d - в третьем. Поэтому, фазу числа c следует принять

j_c = Arctg(b/a),

а фазу числа d -

j_d = Arc tg(b/a) + p.

Учитывая указанное обстоятельство, при определении аргумента K(jw) используйте алгебраическую форму записи ККП K(jw), уточняя по ней, в каком квадранте на комплексной плоскости находится значение ККП K(jw).

2.2. Задание второе. Постройте асимптотические логарифмические частотные характеристики (АЛЧХ) для элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирущего, инерционного и форсирующего.

Указания по выполнению. Необходимо помнить, что асимптотические характеристики представляют собой линейно-ломаные кривые, следовательно, для построения их на каждом линейном участке требуется знание координат только двух точек. В отличие от асимптотических, точные характеристики - логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и фазово-частотная (ЛФЧХ) находятся по точным выражениям:

L(w)=20 lgú K(jw)ç и j(w)=arg K(jw).

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся так.

1. Ось частот вычерчивается в логарифмическом масштабе (по горизонтали). За единицу измерения частоты принимается величина с ^-1 . Обратите внимание на то, что нулевая частота лежит в точке “минус бесконечность”.

2. По вертикальной оси откладывается в линейном масштабе, в децибелах модуль коэффициента передачи звена. Ось проводится через точку w=10^m , c^-1, где m - любое целое положительное или отрицательное число, обеспечивающее близость этой частоты к частотам сопряжения: w_c1=1/T₁, w_c1=1/T₂, и т. д. и к частоте среза w_ср, определяемой из равенства 20 lg÷ K(jw)ç =0.

3. Найденные сопрягающие частоты w_c1=1/T₁, w_c1=1/T₂, и т. д. отмечаются вдоль оси частот.

4. Проводится низкочастотная асимптота ЛАЧХ, которая представляет собой при w< w₁ прямую с наклоном

-20 n дБ/ дек, гле n - число интегрирующих звеньев.

Эта прямая или ее продолжение при частоте w=1 должна иметь ординату 20 lg k, где k - передаточный коэффициент звена.

5. После каждой из сопрягающих частот w_i наклон асимптотической частотной характеристики L(w) изменяется по сравнению с предыдущим наклоном в зависимости от того, какому звену принадлежит сопрягающая частота: наклон изменяется на -20 дБ/ дек, если сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену; -40 дБ/ дек в случае колебательного звена; +20 дБ/ дек в случае дифференцирующего звена первого порядка; +40 дБ/ дек в случае дифференцирующего звена второго порядка.

2.3. Задание третье. Постройте годографы ККП для элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирующего, инерционного и форсирующего.

Указания по выполнению. Годографом ККП является траектория вектора, построенного в системе координат: Re K(jw) - ось абсцисс; j Im K(jw) - ось ординат. Вектор проводится из начала координат. Координаты конца вектора определяются: в декартовой системе координат - из алгебраической формы записи ККП (5), в полярной системе координат - из экспоненциальной формы записи ККП (6).

3. ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

3.1. Задание первое.

Исследовать влияние параметров линейных динамических звеньев САР на их ЛЧХ.

3.2. Задание второе.

Исследовать поведение годографов ККП линейных динамических звеньев САР при изменении параметров звеньев.

3.3. Указания по выполнению лабораторных заданий

Лабораторные задания по п.п. 3.1 и 3.2 выполняются на ЭВМ с использованием программных средств для моделирования ЛЧХ и годографов ККП линейных динамических звеньев САР.

Запустите программу, соответствующую моделированию ЛЧХ (или годографов ККП).

Постройте графики ЛЧХ (годографов ККП) с использованием параметров индивидуального задания.

Наблюдайте поведение функций при различных значениях параметров.

Определите граничные значения параметров и функций.

Зарисуйте графики.

Сравните результаты моделирования с результатами расчетно-практических заданий.

Сделайте выводы по результатам исследований.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ПРОДЕЛАННОЙ

РАБОТЕ

1) Что такое комплексный коэффициент передачи (ККП) для САР и ее звеньев? Какова связь между ККП и ПФ?

2) Какова связь между амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ), фазово-частотными характеристиками (ФЧХ) и ККП?

3) Какова методика определения АЧХ и ФЧХ?

4) Для чего используются асимптотические логарифмические частотные характеристики?

5) Как определяются сопрягающие частоты?

6)Что такое годограф ККП? Для чего он используется?

Как его построить?

Лабораторная работа № 3