Примеры решения задач. В вершинах квадрата находятся равные отрицательные заряды q, а в центре - положительный заряд Q = 2,2 × 10-9 Кл

Задача 1.

В вершинах квадрата находятся равные отрицательные заряды q, а в центре - положительный заряд Q = 2, 2 × 10^-9 Кл. Какой должна быть величина отрицательных зарядов, чтобы вся система находилась в состоянии равновесия?

Решение

Физическая система состоит из пяти взаимодействующих точечных зарядов. Заряды, расположенные в вершинах, находятся в одинаковых условиях. Поэтому искомую величину можно определить, исходя из условия равновесия любого, например q₁, заряда. В соответствии с принципом суперпозиции на этот заряд будет действовать каждый заряд независимо от действия остальных (рис.4). Очевидно, q₁ будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него сил равна нулю:

. (14)

Так как сила и равнодействующая трех других сил направлены вдоль одной прямой, то векторное равенство (14) можно заменить скалярной суммой:

(15)

Из геометрических соображений следует, что расстояние между q₁ и q₃ равно , а между Q и .

С учетом этого, применяя закон Кулона, перепишем (15):

откуда

.

Подставляя численные значения, получим

Задача 2

Тонкий стержень длиной (рис.5) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью . На расстоянии r_o = 20 см от стержня находится заряд q₁ = 10 нКл. Заряд равноудален от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Решение

Физическая система состоит из взаимодействующих точечных и линейного зарядов. Для решения задачи применим принцип суперпозиции. Разделим стержень на столь малые элементы , чтобы заряд можно было рассматривать как точечный. Тогда сила взаимодействия между зарядами q₁ и dQ может быть определена по закону Кулона:

(16)

где r - расстояние от выделенного элемента до заряда q_1.

Из рис.5 следует, что

r = и d =

Подставив эти выражения в (16), получим

(17)

Разложим далее на нормальную и тангенциальную составляющие. Из рис.5 видно, что

Очевидно, что для нахождения силы необходимо проинтегрировать последние выражения. Поскольку положение выделенного заряда на стержне определяется углом a, этот угол и следует взять в качестве переменной интегрирования. Из рис.5 видно, что a меняется в пределах от - b до +b. С учетом этого получим

. (18)

В силу симметрии расположения заряда q₁ относительно стержня интегрирование второго выражения дает нуль:

.

Таким образом, сила, действующая на заряд q₁, будет

(19)

Из рис.5 видно, что

(20)

Подставив (20) в (19), получим

(21)

Вычислив (21), будем иметь F = 540 мкН.

Задача 3

Электрическое поле создано двумя точечными зарядами и Расстояние между зарядами d = 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 15 см от первого и на расстоянии r₂ = 10 см от второго зарядов.

Решение

Физическая система состоит из двух точечных зарядов и созданного ими поля.

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому напряженность поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженность, создаваемая первым зарядом:

(22)

вторым:

(23)

Вектор направлен от заряда q₁, так как заряд q₁ положителен; вектор направлен к заряду q₂, так как заряд q₂ отрицателен.

Абсолютное значение найдем по теореме косинусов:

, (24)

где a - угол между векторами и , который с использованием теоремы косинусов может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

(25)

Подставляя (22) и (23) в (24), получим

. (26)

Вычислив результат, будем иметь

Задача 4

Рассчитать напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью t, в точке А, удаленной от нити на расстоянии r_o.

Решение

Физическая система состоит из бесконечного линейно распределенного заряда и созданного им поля. Решим задачу двумя методами. Применим сначала теорему Гаусса. В силу симметрии вектор напряженности в любой точке нормален цилиндрической поверхности, проходящей через эту точку и имеющей ось симметрии, совпадающую с нитью. Поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр длиной с осью симметрии, совпадающей с нитью, боковая поверхность которого проходит через точку А (рис.7). Поток вектора через торцы цилиндра равен нулю, через боковую поверхность . Полный заряд, расположенный внутри цилиндра, . С учетом этого по теореме Гаусса будем иметь

откуда (27)

Теперь применим принцип суперпозиции. Разделим нить на столь малые элементы , чтобы заряд , находящийся на каждом таком элементе, можно было считать точечным. Выберем один из элементов (рис.8). В точке А он создает напряженность:

(28)

где r - расстояние от выбранного элемента до точки А.

Разложим вектор на нормальную и тангенциальную составляющие. Из рис.8 видно, что

(29)

. (30)

Поскольку положение выбранного точечного заряда на нити определяется углом , возьмем угол в качестве переменной интегрирования. В связи с этим выразим входящие в (29) и (30) величины и r через r_o и .

Из треугольника АDВ находим Из треугольника ВСО следует , так как .

Подставив найденные значения в уравнения (29) и (30), получим

(31)

(32)

Интегрируя (31) и (32) в пределах от - до + будем иметь

.

Таким образом, окончательно что совпадает с выражением, полученным с помощью теоремы Гаусса.

Нетрудно видеть, что в данном случае вычисления по принципу суперпозиции оказались более трудоемкими, чем при использовании теоремы Гаусса. Однако существуют задачи, в которых все наоборот.

Задача 5

Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда и . Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.