Кусочно-линейная топология

Подмножество [ris] наз. конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида аb, где [ris]. Подмножество [ris] наз. полиэдром, если любая его точка обладает в X окрестностью, замыкание к-рой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение [ris] полиэдров наз. кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой ко-нич. окрестности любой точки [ris] Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к к-рому также кусочно-линейно, наз. кусочно-линейным изоморфизмом.Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

Подмножество [ris] тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного ) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление наз. триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, т. е. множеством всех её вершин, в к-ром отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симплициальные схемы их триангуляции. Напр., по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологии и когомологий. Это делается следующим образом:

а ) симплекс, вершины к-рого определённым образом упорядочены, наз. упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы ) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G наз. n-мерными цепями; все они естественным образом составляют группу, к-рая обозначается символом

б ) [ris] выбросив из упорядоченного n -мерного симплекса а вершину с номером i, [ris], получим упорядоченный (n - 1 ) -мерный симплекс, к-рый обозначается символом [ris]; цепь [ris][ris] наз. границей а; по линейности отображение [ris] распространяется до гомоморфизма [ris]: [ris][ris]

в ) цепи с, для к-рых [ris], наз. циклами, они составляют группуциклов [ris];

г ) цепи вида дc наз. границами, они составляют группу границ

д ) [ris] доказывается, что [ris][ris] (граница является циклом ); поэтому определена факторгруппа.

Оказывается, [ris] что группа [ris] изоморфна группе гомологии [ris] полиэдра X, триангуляцией к-рого является К. Аналогичная конструкция, в к-рой исходят не из цепей, а из ко-цепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G ), даёт группы когомоло-гий.

С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраич. Т. В первоначальной конструкции рассматривались т. н. ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин ). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраич. аспекты дали начало т. н. гомологич. алгебре.

Самым общим образом симплициаль-ную схему можно определить как множество, в к-ром отмечены нек-рые конечные подмножества (" симплексы" ), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции нек-рого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит нек-рого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив т. н. " бесконечномерные полиэдры" ), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции нек-рого полиэдра (называемого её геометрич. реализацией).

Произвольному открытому покрытию [ris] каждого топологич. пространства X можно сопоставить симплициальную схему, вершинами к-рой являются элементы [ris] покрытия и подмножество к-рой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) наз. нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство X и, исходя из их групп гомологии и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологии и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологии. Аппроксимация топологич. пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.