Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вопрос. Арифметические операции в позиционных системах счисления






Арифметические операции в позиционных системах счисления. Умножение и деление в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления.

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

 

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

 

 

Сложение в двоичной системе

 

 

Сложение в восьмеричной системе

 

 

Сложение в шестнадцатиричной системе

 

 

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

 

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

 

Шестнадцатеричная: F16+616

 

 

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

 

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,

258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,

1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

 

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

 

 

Шестнадцатеричная: F16+716+316

 

 

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.

 

Проверка:

110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,

318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25,

1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

 

Пример 3. Сложим числа 141, 5 и 59, 75.

 

 

 

Ответ: 141, 5 + 59, 75 = 201, 2510 = 11001001, 012 = 311, 28 = C9, 416

 

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001, 012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201, 25

311, 28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201, 25

C9, 416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201, 25

Вычитание

 

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

 

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

 

 

 

Пример 6. Вычтем число 59, 75 из числа 201, 25.

 

 

Ответ: 201, 2510 – 59, 7510 = 141, 510 = 10001101, 12 = 215, 48 = 8D, 816.

 

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101, 12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141, 5;

215, 48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141, 5;

8D, 816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141, 5.

12)))Умножение

 

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

 

 

Умножение в двоичной системе

 

 

Умножение в восьмеричной системе

 

 

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

 

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

 

 

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.

 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 3•81 + 6•80 = 30.

 

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

 

 

Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.

Деление

 

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

 

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

 

 

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

 

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

 

 

Восьмеричная: 133518: 1638

 

 

Ответ: 5865: 115 = 5110 = 1100112 = 638.

 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.

 

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

 

 

Восьмеричная: 438: 168

 

Ответ: 35: 14 = 2, 510 = 10, 12 = 2, 48.

 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10, 12 = 21 + 2 -1 = 2, 5;

2, 48 = 2*80 + 4*8-1 = 2, 5.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.