Вопрос. Системы счисления. Основные понятия

Системы счисления. Основные понятия. Позиционные и непозиционные системы счисления. Образование чисел в позиционных системах счисления.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

Системы счисления делятся на:

• непозиционные системы счисления;
• позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

Наиболее известная непозиционная система счисления – римская.

В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:

I – 1;

V – 5;

X – 10;

L – 50;

C – 100;

D – 500;

M – 1000.

Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30.
Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).
2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).
3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.
   (Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:

• Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.
• Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, число 222 = 200 + 20 + 2.
Здесь цифра 2 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 2, та же цифра 2 в следующей позиции – число 20, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 200.

Образование чисел в позиционных системах счисления.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число.

Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.