Анализ устойчивости линейной непрерывной системы автоматического управления регулятора.

Цель работы: Преобразование структурной схемы линейной непрерывной САУ и ее исследование на устойчивость с помощью критериев Гурвица и Найквиста.

Теоретическая часть

Для наглядного представления сложной системы как совокупности элементов и связей между ними используются структурные схемы. Структурной схемой называется схема САУ, изображенная в вид соединения ПФ составляющих ее звеньев.Структурная схема показывает строение автоматической системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. Динамическое илистатическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается ПФ звена или ее математическое выражение. Воздействияна систему и влияние звеньев друг на друга (сигналы) изображаютсястрелками. В каждом звене воздействие передается только от входазвена к его выходу.На динамическое звено может воздействовать лишь одна входнаявеличина, поэтому используются блоки суммирования и сравнениясигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы.

Структурная схема может быть составлена по уравнению системыв пространстве состояний или по дифференциальным уравнениямсистемы. При составлении структурной схемы удобно начинать с изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево.Различные способы преобразования структурных схем облегчаютопределение ПФ сложных САУ и дают возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме.Преобразование структурной схемы должно осуществляться наосновании правил. Правила преобразования структурных схем можно найти в справочной литературе [1, 2], основные из них приведеныв табл. 1.

При выполнении преобразований следует каждое имеющееся всхеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном. Затемможно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров, чтобывпреобразованной схеме образовались новые типовые соединениязвеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления исумматоров и т. д.

Таблица 1. Основные правила преобразования структурных схем

Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.Система является устойчивой, если при ограниченном входномсигнале её выходной сигнал также является ограниченным.

Еслисистемаустойчива, то она противостоит внешним воздействиям, авыведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему.Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивойи неработоспособной.

Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе.Общая задача об устойчивости движения.

Необходимое и достаточное условие устойчивостизаключается в том, чтобы все корни характеристического уравнения-полюсы передаточной функции системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системыявляется расположение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.

Выше сформулированное условие устойчивости справедливо какдля линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случаенулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнениявопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.

В конце XIX и первой половине XX в. задача вычисления корнейхарактеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложены несколько косвенныхметодов оценки устойчивости, позволяющих обойтись без вычисления корней – по значениям коэффициентов характеристическогоуравнения.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. Вчастности, к алгебраическим критериям относится критерийГурвица, к частотным критериям – критерий Найквиста.

Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы. Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:

Из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу по правилу:

1. По диагонали записываются коэффициенты от а_{n- 1} до а ₀.

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.

3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или больше n, на его место пишется 0.

Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:

Критерий устойчивости формулируется так: Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при an B > 0 были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица. Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий вид:

Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.

Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть имеется частотная ПФ разомкнутой системы W (j ω).

Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженнуюзнаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части.

Передаточная функция приобретает вид:

Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множество пар: { P (ω 1); jQ (ω 1)}, { P (ω 2); jQ (ω 2)}, …, { P (ω n); jQ (ω n)}. Затемпо этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.

Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:

1. Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке P (ω) =K (где K – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при ω → ∞ (рис. 1, а).

2. Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой полуоси, а заканчивается в начале координат при ω → ∞ (рис. 1, б).

Рис. 1. АФЧХ разомкнутой системы

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:

1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системыпри изменении частоты ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами –1, j 0.

2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от ω от – ∞ до + охватывала m раз точку с координатами –1, j 0.

При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:

1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью.

2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси. Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива, если фаза выходного сигнала противоположна фазе входного сигнала, а коэффициент усиления > 1. Поэтому для анализа устойчивости можно использовать не АФЧХ, а ЛАХ системы (для минимально)фазовых систем).

Система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает –π. Соответственно для устойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе – расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня –π, и запас устойчивости по амплитуде – расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной –π.

В пакете MatLab имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования:

– series(w1, w2) – последовательное соединение динамических звеньев;

– parallel(w1, w2) – параллельное соединение динамических звеньев;

– feedback(w1, w2) – включение звена w2 в контур отрицательнойобратной связи к w1;

– feedback(w1, w2) – включение звена w2 в контур отрицательнойобратной связи звена w1;

– feedback(w1, w2, sign) – включение звена w2 в контур обратнойсвязи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1, w2)= =feedback(w1, w2,)1));

Задание:

Выполнить преобразование заданного варианта структурной схемы САУ в эквивалентную ПФ непосредственно используя правила табл. 1.

Варианты заданий приведены в табл. 2. В качестве звеньев W 1 – W2 использовать апериодические звенья первого порядка, в качестве W3 – пропорциональное звено.

Выполнить исследование замкнутой САУ на устойчивостьпо передаточной функции разомкнутой системы (критерий Найквиста) и по критерию Гурвица.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Цель работы

2. Порядок выполнения работы:

– описание всех этапов преобразования исходной схемы и получающихся промежуточных результатов;

– графики переходных процессов;

– исследование системы по критерию Найквиста;

– исследование системы по критерию Гурвица.

3. Выводы

Пример выполнения задания

1.Пример.Пусть необходимо получить эквивалентное представление для структуры, приведенной на рис.2.

Рис.2 исходная структура САУ

Преобразование включает несколько этапов, показанных на рис. 3–6.

Таблица 2. Варианты структур САУ

Рис.3 Перенос узла через сумматор

Рис.4 Свертывание обратной связи и последовательного соединения

Рис. 5 Свертывание обратной связи и параллельного соединения

Рис.6 Свертывание последовательного соединения

Таким образом, преобразования структурных схем заключается в непосредственном использовании правил, приведенных в табл.1.

2. ИспользованиепакетаMatLab

> > w=tf([1 2], [1 2 2])

Transfer function:

s + 2

——————

s^2 + 2 s + 2

> > w1=tf([1 2 3], [1 2 2])

Transfer function:

s^2 + 2 s + 3

——————

s^2 + 2 s + 2

> > w2=series(w, w1)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6

——————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

> > w3=parallel(w, w1)

Transfer function:

s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10

————————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

> > w4=feedback(w, w1)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

————————————————

s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10

> > wr=series(w3, w1)

> > step(w4)

График переходного процесса показан на рис. 7. Разомкнутая система неустойчива, и, согласно критерию Найквиста, надо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку –1, j 0 столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist

> > nyquist(wr)

Диаграмма Найквиста показана на рис. 8. Как показывает рис. 8, АФЧХ ни разу не охватывает точку –1, j 0, поэтому замкнутая система будет неустойчивой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы:

Замкнутая минимально)фазовая система устойчива, если при достижении ЛФЧХ значения – π ЛАЧХ будет отрицательной. Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе с помощью команды

> > margin(wr)

Соответствующий график показан на рис. 9.

Рис. 7 Переходная реакция неустойчивой системы

Рис. 8 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы

Рис. 9 Определение запасов устойчивости по амплитуде и фазе

3. Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицуГурвица и найдите ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных детерминантов.

> > A=[1 14 18; 2 5 2; 3 4 3]

A =

1 14 18

2 5 2

3 4 3

> > det(A)

ans = 119

> > A1=A(1: 2, 1: 2)

A1 =

1 14

2 5

> > det(A1)

ans = 23

Результаты расчетов показывают, что система устойчива по критерию Гурвица.

Контрольные вопросы

1. Поясните порядок выполнения структурной схемы выполняемого варианта

2. Назовите команды для выполнения структурных преобразований

3. Как определить устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста?

4. Поясните порядок применения критерия Гурвица