Лабораторная работа №1. Изучение программных продуктов для численного моделирования САУ

Изучение программных продуктов для численного моделирования САУ. Исследование временных и частотных характеристик типовых динамических звеньев

Цель работы: Изучение временных и частотных характеристик динамических звеньев.

Теоретическая часть

Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным дифференциальным уравнением вида:

, (1)

где u (t) – входной процесс; y (t) – выходной процесс; ai, bj, – постоянные коэффициенты; n, m (n > = m) – постоянные числа.

Если ввести обозначение p для оператора дифференцирования , то можно записать (1) в операторной форме:

(2)

Откуда получается:

где A(p) и B(p) – полиномы из формулы (2).

Выражение (2) по виду совпадает с определением передаточной функции (ПФ) как отношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преобразованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных условиях:

, (3)

где s – комплексная переменная. Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена B (s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A (s) – полюсами.

Временные характеристики динамического звена представляютсобой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия.

Обычно выполняется анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и импульсную функцию (функция Дирака или δ)функция).Единичный скачок 1(t) определяется условиями:

Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы и обозначается h (t). При неединичном ступенчатом воздействии g (t) =N 1(t), где N = const, в соответствии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет:

y (t) = Nh (t).

Импульсная функция δ (t) определяется условиями:

Очевидно:

δ (t) =1′ (t).

Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w (t).

Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением:

В пакете MatLab имеется два основных варианта для исследования передаточных функций и моделирования САУ:

– использование команд пакета расширения ControlSystemToolbox;

– использование пакета Simulink.

ControlSystemToolbox предназначен для работы с LTI-моделями (LinearTimeInvariantModels – линейные модели с постоянными параметрами) систем управления.

Команда, создающая LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции, имеет следующий синтаксис:

где bm,, b 1, b 0 и an, …, a 1, a 0 – значения коэффициентов полиномов В и A в (3).

Для построения переходного процесса используют команду

step(система) или step(система1, система2,, система n)

Для построения импульсной характеристики команду

impulse(система) или impulse(система1, система2,, система n)

Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (синусоидальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция системы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свойствах.Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту ω, т. е.описывается формулой:

Выходной сигнал будет иметь амплитуду А 1 и отличаться от входного по фазе на величину (фазовый сдвиг):

Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде

Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои A и ψ. Изменяя ω в широком диапазоне, можно получить зависимость A (ω) – амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ (ω) – фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Главное достоинство метода частотных характеристик заключается в том, что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспериментально. Для этого необходимо иметь генератор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измерительную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колебаний на выходе объекта. Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ W (s). Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида

Тогда выходной сигнал

И частотная ПФ

Формально для получения частотной ПФ (амплитудно-фазовая частотная характеристика – АФЧХ) надо сделать в W (s) подстановку s = j ω, и тогда полученная W (j ω) является комплексным выражением, которое можно представить в виде:

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделение:

= ,

где

Графики функций U (ω) и V (ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками. В практических расчетах удобно применять графики частотныххарактеристик, построенных в логарифмическом масштабе – логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется следующим выражением:

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется график зависимости ψ (ω), построенный в логарифмическом масштабе частот. Единицей L (ω) является децибел (дБ), а единицей логарифма частоты – декада. Декадой называют интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз.

При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку ω = 0. Частоте ω = 0 соответствует бесконечно удаленная точка: lgω → –∞ при ω → 0. Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том, что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических звеньев изображаются отрезками прямых.

В Matlabкривую АФЧХ можно построить используя команду

Nyquist(система) или Nyquist (система1, система2,, система n)

Кривые ЛАЧХ и ЛФЧХ:

bode(w)(система) или bode (система1, система2,, система n)

По виду дифференциального уравнения описывающего линейную систему выделены типовые динамические звенья – табл.1.

Каждое типовое звено характеризуется показателями динамики: K – коэффициент усиления (влияет на величину выходного сигнала), Т – постоянная времени (влияет на длительность переходного процесса. Типовые звенья разделяют на идеальные без постоянной времени и реальные.

Звенья второго порядка могут задаваться двумя постоянными времени, в зависимости от того, как они соотносятся друг с другом, звенья разделяют на консервативное, колебательное и апериодическое.

Таблица 1. Типовые динамические звенья

№	Названия звена	ПФ звена
	Интегрирующее
	Дифференцирующее
	Усилительное(безынерционное)
	Апериодическое 1 порядка(инерционное)
	Апериодическое 2 –гопорядка (все корнивещественные)	;
	Kолебательное звено 2-го порядка	;
	Kонсервативное звено 2-го порядка
	Интегрирующеес запаздыванием(реальноеинтегрирующее)
	Дифференцирующеес запаздыванием(реальноедифференцирующее)
	Форсирующее
	Изодромное

Задание

Для каждого из типовых динамических звеньев получить 2-3 передаточные функции с разными показателями динамики и построить переходные характеристики, импульсные характеристики, амплитудно-фазовые частотные характеристики и логарифмические частотные характеристики с помощью пакета MATLAB.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Цель работы

2. Порядок выполнения работы – с графиками экспериментально полученных характеристик при вариациипараметров каждого звена

3. Выводы

Пример выполнения задания

Пример.

Рассмотрим в качестве примера колебательное звено 2-го порядка.

Его передаточная функция имеет вид

;

Зададимся для w1: К =2, Т₁ =0, 1, Т₂ =0, 3

Зададимся для w2: К =2, Т₁ =0, 2, Т₂ =0, 5

Зададимся для w3: К =2, Т₁ =0, 05, Т₂ =0, 5

Тогда получим:

Зададим команды

> > w1=tf([2], [0, 09 0, 1 1]);

> > w2=tf([2], [0, 25 0, 2 1]);

> > w2=tf([2], [0, 25 0, 05 1]);

> > step(w1, w2, w3).

В результате на экран будет выведено окно с графиками, которое можно через буфер обмена в отчет, также можно перенести в отчет команды.

Для построения графиков импульсных и частотных характеристик нужно зададим команды

> > impulse(w1, w2, w3)

> > Nyquist(w1, w2, w3)

> > bode(w1, w2, w3)

На рис. 1 и рис. 2 представлены переходные характеристики ЛЧХ исследуемого звена.

Рис.1. Исследование реакции колебательного звена

Рис.2. Частотные характеристики динамических звеньев

Контрольные вопросы

1. Назовите основные типы динамических звеньев

2. Какие типовые звенья относятся к идеальным

3. Какие типовые звенья являются реальными

4. Как коэффициент пропорциональности влияет на динамические и частотные характеристики

5. Как постоянная времени влияет на динамические и частотные характеристики