Пример расчета. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по нормальному закону на уровне значимости a=0,1 по значениям выборки наблюдений

Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по нормальному закону на уровне значимости a =0, 1 по значениям выборки наблюдений показателя качества, приведенным в табл. 7 (объем выборки n =500).

Таблица 7

Исходные данные

1. Отрываем новую книгу Microsoft Excel и на первом листе заносим исходные данные в ячейки А1…Е9 (см. табл. 8).

2. В массиве ячеек Е2: Е9 определяем значения середин интервалов (например, ячейка Е2 содержит формулу =(В2+С2)/2; ячейка Е3 – формулу =(В3+С3)/2 и т.д.). В ячейку D12 заносим формулу =СУММ(D2: D9) для расчета общего количества проведенных наблюдений.

3. В ячейке Е12 вычисляем среднее арифметическое значение наблюдаемого показателя качества x_ср по формуле =СУММПРОИЗВ(D2: D9; E2: E9)/D12.

4. В ячейке F12 определим стандартное отклонение, с этой целью рассчитаем массив F2: F9 значений (x_i - x_ср)². Например, в ячейке F2 содержится формула =СТЕПЕНЬ(E2-E12; 2), в ячейке F3 – формула =СТЕПЕНЬ(E3-E12; 2) и т.д. Ячейка F12 содержит формулу =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(D2: D9; F2: F9)/D12).

5. В массиве G2: G9 вычисляем значения функции плотности нормального распределения (например, ячейка G2 содержит формулу =НОРМРАСП(E2; E12; F12; 0); ячейка G3 – формулу =НОРМРАСП(E3; E12; F12; 0) и т.д.).

6. В массиве H2: H9 рассчитываем теоретические частоты нормального распределения n ¢ _i (например, в ячейке Н2 содержится формула =G2*D12*(C2-B2); в ячейке Н3 – формула =G3*D12*(C3-B3) и т.д.). Их округленные значения помещаем в массив I2: I9.

7. Для расчета критерия c ² _набл вводим дополнительный массив J2: J9 значений (n_i - n ¢ _i)² / n ¢ _I (например, в ячейке J2 содержится формула =СТЕПЕНЬ(D2-I2; 2)/I2; в ячейке J3 – формула =СТЕПЕНЬ(D3-I3; 2)/I3 и т.д.). Значение критерия c ² _набл содержится в ячейке J12 с формулой СУММ(J2: J9). Для приведенных исходных данных c ² _набл =4, 33.

8. Определяем правостороннюю критическую границу, используя функцию ХИ2ОБР, занося это значение в ячейку К12. Ячейка К12 содержит формулу =ХИ2ОБР(0, 1; 5), где 0, 1 – уровень значимости a, 5 – число степеней свободы k с учетом того, что число интервалов в выборке равно 8. Получилась следующая правосторонняя критическая область (9, 24; +¥).

Результаты вычислений заносим в табл. 8.

Таблица 8

Результаты расчета

Окончание табл. 8

Так как c ² _набл =4, 33 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Проверка гипотезы о равенстве средних

(математических ожиданий) двух нормальных

распределений с известными дисперсиями

Важное практическое применение имеет критерий проверки гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями (известными из предшествующего опыта или найденными теоретически). Подобная задача возникает, например, при сравнении качества изделий, изготовленных на разных установках.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, по независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, определены выборочные средние и .

Нулевая гипотеза, которую требуется проверить по выборочным средним при заданном уровне значимости a, запишется следующим образом:

, (5)

т.е. генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами. Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические и результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое результатов измерений физической величины А значимо отличается от среднего арифметического результатов измерений физической величины В, то это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

. (5)

Если нулевая гипотеза выполняется, то критерий Z – нормированная случайная величина, т.е. ее математическое ожидание М (Z)=0 и стандартное отклонение s (Z)=1.

Для проверки гипотезы о различии между средними (математическим ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями используется режим Двухвыборочный z-тест для средних. В диалоговом окне данного режима (рис. 6) задаются следующие параметры:

Рис. 6

1. Интервал переменной 1 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины X. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

2. Интервал переменой 2 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины Y. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

3. Гипотетическая средняя разность – вводится число, равное предполагаемой разности средних (математических ожиданий) изучаемых генеральных совокупностей. Значение 0 указывает на то, что проверяется гипотеза Н ₀: a_x = a_y.

4. Дисперсия переменной 1 (известная) – вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины X.

5. Дисперсия переменной 2 (известная) – вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины Y.

6. флажок Метки – устанавливается в активное состояние, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовки. Если заголовки отсутствуют, флажок следует деактивизировать, в этом случае будут автоматически созданы стандартные названия для данных выходного диапазона.

7. Альфа – вводится уровень значимости a, равный вероятности возникновения ошибки первого рода.

8. переключатель Выходной интервал / Новый рабочий лист / Новая рабочая книга. В положении Выходной интервал активизируется поле, в которое необходимо ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически и на экране появится сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. В положении Новый рабочий лист открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа. Если необходимо задать имя открываемого рабочего листа, его вводят в поле, расположенное напротив соответствующего положения переключателя. В положении Новая рабочая книга открывается новая книга, на первом листе которой начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа.