Контрольная работа № 2. Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.

Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.

При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить ос­новные понятия и определения функции нескольких переменных. Нау­чится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные ин­тегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить ре­шения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить ос­новные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероят­ность случайного события, условную вероятность случайного события, не­зависимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связан­ные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию.

Задание № 1. Найти частные производные первого порядка.

Пример. .

Вычислим частные производные первого порядка и . При вы­числении частной производной по переменной вторая переменная счи­тается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференцирования получим:

.

При вычислении частной производной по переменной , вторая перемен­ная считается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференциро­вания получим:

.

Задание № 2. Вычислить двойной интеграл.

Пример. .

Вычисляем двойной интеграл по прямоугольнику через один из по­вторных интегралов:

.

При интегрировании по переменная считается постоянной. Поэтому, вычисляя внутренний интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, получим

.

Вновь применяя формулу Ньютона –Лейбница уже к внешнему интегралу, получим

.

Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Пример 1. .

Преобразуем уравнение к виду :

.

Сделав подстановку или , получим, подставив в уравнение,

.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя, имеем:

.

Отсюда

.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения .

Пример 2. .

Это уравнение является уравнением Бернулли , где , , и - непрерывные функции. Положим . То­гда получим

или .

Выберем функцию как частное решение уравнения . Разделяя переменные, получим

.

Выбирая простейшие решение , находим . Для оставшейся части уравнения получим , где . Отсюда . Разде­ляя переменные, получим

,

откуда

.

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения

, где .

Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пример. .

Положим . Тогда

.

Исходное уравнение примет вид

.

Разделяя переменные, найдем

.

Заменив на , получим

,

откуда . Здесь уже допускается , так как уравнение , очевидно, имеет решение . Заменим обратно на , то­гда получим уравнение первого порядка:

.

Разделив переменные, получим общее решение исходного уравнения в не­явном виде:

.

Задание № 5. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения с начальными условиями и .

Найдем решение однородного уравнения, для чего составим и решим характеристическое уравнение:

,

где корень кратности 2.

По корням характеристического уравнения составим общее решение одно­родного уравнения :

.

Найдем - частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического уравнения нет , то частное решение будем искать в виде, похожем на правую часть неоднородного уравнения. Там находится выражение - многочлен второй степени, общий вид кото­рого

.

Поэтому положим

.

Так как есть решение неоднородного дифференциального уравнения , то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем произ­водные , :

;

подставим их в уравнение :

.

После группировки по степеням получим

.

Два многочлена одинаковой степени равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при степенях в обеих частях:

Отсюда . Общее решение

.

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, най­дем первую производную:

.

Подставляя в начальные условия и , найдем

или

Отсюда окончательно находим

.

Задание № 6. Исследовать сходимость числового ряда .

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Применим признак Даламбера: имеем , , . Тогда

.

Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 2. Исследования сходимость числового ряда .

Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию

.

Так как на интервале эта функция и с ростом моно­тонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобст­венным интегралом:

.

Данный интеграл сходится, так как

,

поэтому сходится и данный ряд.

Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Выпишем коэффициенты ряда:

, .

Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравен­ству . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то получим обобщенный гармонический ряд , который схо­дится, так как .

Если , то получим знакопеременный ряд , который схо­дится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности.

Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной за­даче на каж­дую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может ре­шить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному ис­числению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно

.

Число билетов, которое знает студент равно

.

Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равно­вероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:

.

Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по диффе­ренциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна .

Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие ) равна , вероятность получить задачу по дифференциаль­ному исчислению (событие )равна =0, 4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие ) равна . Если событие означает, что задача решена, то услов­ные вероятности решить задачу при условии, что это задача по пределам, дифференциальному или интегральному исчислению, соответственно равны:

; ; .

События , и попарно несовместны и одно из них всегда наблю­даемо при любом исходе. Тогда по формулеполной вероятности

находим вероятность сдачи зачета

.

Пример № 3. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток?

Решение. Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 че­ловек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:

.

Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15:

и двух студенток из 10:

.

Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в со­ставе которой две студентки и два студента равно

.

Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:

.

Пример № 4. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у авто­буса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна . Ка­кова вероятность того, что в течение смены поломок не будет не менее чем у девяти автобусов?

Решение. Вероятность того, что у автобусов не будет поломок в течение смены, определяется формулой Бернулли:

.

Тогда искомая вероятность равна или

.

Пример № 5. Вероятность изготовления на станке нестандартного изделия равна . Какова вероятность обнаружить в партии из 1000 изделий, изготовленных на таком станке, от 940 до 960 стандартных изделий?

Решение. Пусть случайная величина есть число стандартных деталей, обнаруженных в партии. При большом числе изделий в партии и вероятности изготовления стандартной детали близкой к еди­нице, можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа для определения вероятности того, что число стандартных изделий окажется между и :

,

где - функция Лапласа:

.

Подставляя значения, находим

.

Значение функции Лапласа находим из таблицы приложения 2 [7, стр. 462].

Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина с функцией рас­пределения . Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей ;

2) схематично построить графики функций и ;

3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич­ное отклонение случайной величины .

Пример. Решить задание № 9, если задана непрерывная случайная вели­чина с функцией распределения.

1) Плотность распределения случайной величины равна первой про­изводной от функции распределения.

Проверим условие нормировки

.

Подставив сюда найденную плотность распределения, получим

.

2) Строим схематично графики функций и :

Рисунок 1 - Графики функций распределения и плотности распределе­ния .

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , где a, b - начало и конец интервала, на котором опреде­лена плотность распределения .

;

,

.

Замечание. Для вычисления интегралов использовались формулы:

,

,

,

.

Задание № 10. Заданы математическое ожидание и среднее квадратич­ное отклонение нормально распределенной случайной величины . На­писать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. Найти вероятность того, что примет значение из интер­вала .

Пример. Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины Х.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично по­стро­ить ее график.

2. Найти вероятность того, что примет значение из интервала (2; 10).

3. Найти вероятность того, что примет значение превышающее 10.

4. Найти интервал, симметричный относительно математического ожида­ния, в котором с вероятностью g=0, 95 будут заключены значения вели­чины .

1) Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами , , воспользовавшись формулой для плотности нор­мального распределения :

.

Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой и дости­гает максимального значения в этой точке, равного , т.е. . На кривой находятся две точки пере­гиба с ординатой . Построим гра­фик .

Рисунок 2 - График функции .

2) Вероятность попадания нормальной величины в интервал равна

,

где ‑ функция Лапласа:

.

Тогда вероятность попадания в интервал равна

.

Значения функций найдены по таблице приложения 2 [7, стр. 462].

3) Аналогично находим вероятность попадания в интервал :

.

В нашем случае , , , поэтому

.

4) Воспользуемся формулой . Из нее следует, что вероятность попадания в интервал, симметричный относительно матема­тического ожидания, равна

.

По таблице [7, стр. 462] найдем аргумент t, при котором . Полу­чим . Тогда . Таким образом, получаем, что интервал совпадает с интервалом . Отсюда

.

Задание № 11. Заданы среднее квадратичное отклонение нормально рас­пределенной случайной величины , выборочная средняя и объем вы­борки . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного мате­мати­ческого ожидания с доверительной вероятностью .

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распреде­ленной случайной величины Х, если среднее квадратичное отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Требуется найти доверительный интервал . Все величины, кроме коэффициента , известны. Найдем из соотноше­ния , где - функция Лапласа:

.

По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив значе­ние , окончательно получим искомый доверительный интервал .