Методы финансовых вычислений

1. Логика финансовых вычислений. Подавляющее большин­ство решений, которые приходится принимать высшему и сред­нему управленческому персоналу на предприятии, — это реше­ния финансового характера, т. е. выражаемые в терминах фи­нансов. Логика подобных решений описывается известным соотношением: доходы, которые ожидаются в результате приня­тия данного решения, должны определенным образом превосхо­дить совокупные затраты, связанные с его подготовкой и реали­зацией. Безусловно, некоторые решения могут иметь иное обоснование, нежели текущая выгодность; среди них — отсутствие убытка, социальный аспект, действие факторов, не поддающихся элиминированию, осознанная неэффективность в краткосроч­ном плане в сочетании с ожидаемой прибыльностью в долгосрочной перспективе и т. п. Тем не менее, решения, основанные на денежных оценках, без сомнения преобладают.

Решения финансового характера в подавляющем большин­стве случаев не являются одномоментными в плане проявле­ния вызываемых ими последствий. Иными словами, здесь весьма важную, если не решающую, роль играет фактор времени. Формализованная основа подобных решений — так назы­ваемые финансовые вычисления, имеющие давние традиции, в том числе и в отечественной учетно-аналитической практике (краткий экскурс в историю становления финансовых вычис­лений можно найти в работе [Ковалев, Уланов]).

Финансовые вычисления базируются на понятии времен­ной стоимости денег; именно с их помощью удается прини­мать управленческие решения, эффективные во временном ас­пекте. Подобными вычислениями обязаны владеть как лица, принимающие решения, так и их помощники-аналитики.

Несмотря на кажущуюся простоту расчетов, методы финан­совых вычислений исключительно важны именно в практиче­ской плоскости и, кроме того, они не приходят к специалисту автоматически вместе с дипломом о высшем или специальном образовании. Невозможно стать финансовым менеджером или аналитиком лишь читая общетеоретические монографии, учеб­ники и руководства — нужна рутинная вычислительная прак­тика, умение ориентироваться в методах, привлекаемых для получения ряда оценок, которые можно использовать как фор­мализованное обоснование принимаемого решения в области кредитования и финансирования.

Без сомнения, финансовые вычисления входят в число краеугольных элементов процесса управления финансами предприятия и используются в различных его разделах. Наи­более интенсивно они применяются для оценки инвестицион­ных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

Ключевыми моментами методов оценки эффективности фи­нансовых операций, определяющими их логику, являются сле­дующие утверждения:

• практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов;

• в подавляющем большинстве случаев собственно опера­ции или их последствия «растянуты» во времени;

• с каждой операцией можно увязать некоторый денежный лоток;

• денежные средства должны эффективно оборачиваться, т. е. с течением времени приносить определенный доход;

• элементы денежного потока, относящиеся к разным мо­ментам времени, без определенных преобразований не сопоста­вимы;

• преобразования элементов денежного потока осуществляют­ся путем применения операций наращения и дисконтирования;

• наращение и дисконтирование могут выполняться по раз­личным схемам и с различными параметрами.

Финансовые вычисления базируются на понятии временной ценности денег, а логика построения основных алгоритмов дос­таточно проста и основана на следующей идее. Простейшим ви­дом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV) с условием, что через некоторое время (t) будет возвращена большая сумма (FV). Как известно, ре­зультативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью получаемого прироста Дк = FV - PV, либо путем расчета некоторого относительно показателя. Абсо­лютные показатели чаще всего не подходят для подобной оцен­ки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом — ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением прираще­ния исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо (PV) (получим процентную ставку), либо FV (получим учетную ставку).

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда при­сутствуют три величины: FV, PV и ставка г, две из которых за­даны, а одна является искомой. Процесс, в котором заданы ис­ходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), называется процес­сом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему. Необходимо отметить, что в качестве коэффициента дисконтирования может исполь­зоваться либо процентная ставка (математическое дисконтиро­вание), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Под наращенной суммой ( FV ) ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают перво­начальную ее сумму с начисленными процентами к концу сро­ка начисления (date of maturity, due date). Наращенная сумма оп­ределяется умножением первоначальной суммы долга (PV) (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий на­ращения.

Экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку, как следует из определения процентной ставки г,

FV = PV + PV г, причем PV г > 0,

время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют временную ценность.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных вре­менных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае иско­мая величина PV показывает как бы текущую, «сегодняш­нюю» стоимость будущей величины FV.

2. Процентные ставки и схемы начисления. Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявля­йся прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежут­ка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление: процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема про­стых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвести­руемый капитал равен Р; требуемая доходность — г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р г. Таким образом, размер инве­стированного капитала через n лет (FVn) будет равен:

FV _n = Р + Р г +... + Р г = Р (1 + n г) (1.1)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с ис­ходной величины инвестированного капитала, а с общей сум­мы, включающей также и ранее начисленные и невостребован­ные инвестором проценты. В этом случае происходит капита­лизация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты все время возрастает. Следова­тельно, размер инвестированного капитала к концу n -го года будет равен:

FV _n = PV (l + r)ⁿ (1.2)

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются одно­кратно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются еже­годно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжитель­ности периода один год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банков­ских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полуго­дие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц — 30 дней; квартал – 90 дней; полугодие - 180 дней; год - 360 (или 365) дней.

В банковской практике различных стран срок в днях и расчетное количество дней в году при начислении простых процентов определяется по разному:

· германская практика – год делится на 12 мес. по 30 дней каждый, поэтому длительность года принимается за 360 (t/360);

· французская практика – длительность года принимается равной 360 дням, а количество дней в месяцах берется равным фактической календарной длительности (28, 29, 30 и 31 день);

· английская практика - длительность года принимается равной календарной длительности (365 или 366 дней), как и количество дней в месяцах берется равным фактической календарной длительности (28, 29, 30 и 31 день).

В таких случаях используется формула:

FV = PV (l + n r) или FV = PV (l + r) (1.3.1)

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера с использованием формулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами:

PV = FV (l – n d) или PV = FV (l - d) (1.3.2)

где d — годовая дисконтная ставка в долях единицы;

t — продолжительность финансовой операции в днях;

Т —количество дней в году;

n—относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что опе­рация имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно воз­растает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или теку­щей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1+г)ⁿ, называемого мульти­плицирующим множителем FM1 для единичного платежа и обеспе­чивающего наращение стоимости, табулированы для различ­ных значений г и n (эту и другие финансовые таблицы можно найти в справочниках). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

FV _n = PV FMl (r, n),

где FMl (r, n) = (l + r)ⁿ — мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FMl (r, n) состоит в сле­дующем: он показывает, чему будет равна одна денежная еди­ница (один рубль, один доллар, одна евро и т. п.) через n пе­риодов при заданной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле (номинальная процентная ставка):

FV = PV (l + )^{m n} (1.4)

где г — объявленная годовая ставка; m — количество начислений в году; n — количество лет.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет причем проценты могут начисляться не обязательно один раз в год (подпериод, определяющий частоту начисления процен­тов, назовем базовым). В этом случае можно воспользоваться одним из двух методов:

• схема сложных процентов:

FV = PV (l + r)^{a + b} (1.5)

• смешанная схеме (используется схема сложных процен­тов для целого числа лет и простых процентов — для дробной части периода):

FV = PV (l + r)^a (1 + b r) (1.6)

где n = a + b, причем а – целое число лет, b – дробная часть года

Поскольку b < 1, то (1 + b г) > (1 + r)^b, следовательно, нара­щенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

В финансовых контрактах могут предусматриваться различ­ные схемы начисления процентов. При этом, как правило, ого­варивается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопос­тавлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка г_е, обеспечивающая переход от Р к FV_n при заданных значениях этих показателей и однократном начисле­нии процентов и рассчитываемая по формуле:

r_e = (l + ) ^m - 1 (1.7)

Из формулы (1.7) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки мож­но найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти став­ки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка r_e является крите­рием эффективности финансовой сделки и может быть использо­вана для пространственно-временных сопоставлений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвы­чайно важно для финансового менеджера. Дело в том, принятие решения о привлечении средств, например, банковской ссу­ды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рек­ламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляю­щем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вло­жения в государственные ценные бумаги, или нет. Используя несложные методы пытаются проанализировать будущие дохо­ды при минимальном, «безопасном» уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке буду­щих поступлений FV_n (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения, инвестор обычно руководствуется тре­мя посылами: (а) происходит перманентное обесценение денег (инфляция); (б) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может су­щественно отличаться от темпа инфляции; (в) желательно пе­риодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума. Базируясь на этих посылах, инвестор должен оценить, какими будут его до­ходы в будущем, какую максимально возможную сумму допус­тимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа является следствием формулы (1.2):

PV = = FVn FM2 (r, n), (1.8)

где FVn — доход, планируемый к получению в n-м году;

Р — приведенная (сегодняшняя, текущая) стоимость, т. е. оценка величи­ны FV_n с позиции текущего момента;

г — коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в бедующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет (FV _n) с позиции текущего момента будет меньше и равна РV (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для инвестора сумма РV в данный момент времени и сумма FV _n через n лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиции, ожидаемых к по­ступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом слу­чае коэффициент дисконтирования численно равен процент­ной ставке, устанавливаемой инвестором, т. е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Множитель FM2 (n, r) = называется дисконтирую­щим множителем для единичного платежа, его значения также табулированы. Экономический смысл дисконтирующего мно­жителя FM2 (n, r) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная еди­ница (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса n периодов спустя от момента расчета, при заданных процент­ной ставке (доходности) г и частоте начисления процента. Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать бук­вально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с теку­щим моментом.

Денежные потоки и их оценка. Одним из основных эле­ментов финансового анализа вообще и оценки инвестицион­ных проектов в частности является оценка денежного потока R₁, R₂, R₃, …, Rn, генерируемого в течение ряда временных перио­дов в результате реализации какого-либо проекта или функ­ционирования того или иного вида активов. Элементы потока Ri могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты из­ложения материала в этой главе предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т. е. нет че­редования оттоков и притоков денежных средств. Также счи­тается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрирова­ны на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 1.2).

На практике большее распространение получил поток пост­нумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе ме­тодик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объясне­ния этому можно дать, исходя из общих принципов учета, со­гласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления де­нежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгорит­мы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последую­щего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках ре­шения двух задач: (а) прямой, т. е. проводится оценка с пози­ции будущего (реализуется схема наращения); (б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенно­го денежного потока, т. е. в ее основе лежит будущая стои­мость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (1.2).

Несложно показать, что будущая стоимость исходного де­нежного потока постнумерандо FVpst может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т. е. в общем виде формула имеет вид:

FVpst = (1.9)

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконти­рованного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы (1.8). Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы в зависимости от вида потока - постнумерандо или пренумерандо. Именно обратная задача является основной при оценке инвестиционных проектов.

В частности, приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PVpst в общем случае может быть рассчитана по формуле:

PVpst = (1.10)

Несложно показать, что для потоков пренумерандо формулы 1.9 и 1.10 трансформируются следующим образом:

FVpre = FVpst (1+ r) (1.11)

Рpre = Рpst (1+ r) ( 1.12)

Необходимо отметить, что ключевым моментом в рассмот­ренных схемах является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», т. е. инве­стора, не накапливающего полученные денежные средства в каком-нибудь сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополни­тельного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т. е. и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерче­ских расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложен­ная в схему аннуитетных платежей широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвести­ционных проектов, а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. (1) аннуитет представляет собой однонаправлен­ный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы; (2) накладывает до­полнительное ограничение, а именно, элементы денежного по­тока одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуи­тет называется срочным. В этом случае:

R₁ = R₂ =... Rn = R

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных ве­личинах регулярного поступления (R) и процентной ставке (г) можно воспользоваться формулами (1.13) и (1.14):

FVpst = R или FVpst = R FM3 (r, n) (1.13)

FVpre = FVpst (1 + r) = R FM3 (r, n) (1 + r) (1.14)

где FM3(r, n) = (1.15)

Экономический смысл FM3(r, n), называемого мультипли­цирующим множителем для аннуитета, заключается в следую­щем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычис­лениях, и поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от г и n, они также табулированы.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться следующими формулами:

PVpst = A FM4 (r, n) (1.16)

Рpre = Рpst (1+r) = R FM4 (r, n) (1+r) (1.17)

Где FM4 (r, n) = (1.18)

Экономический смысл FM4(r, n), называемого дисконти­рующим множителем для аннуитета, заключается в следую­щем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступления­ми в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной про­центной ставкой r. Значения этого множителя также табули­рованы.

При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессроч­ным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике, к бессрочным отно­сятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касает­ся обратной задачи, то ее решение для аннуитета постнумерандо делается на основе формулы:

PV = (1.19)

Приведенная формула используется для оценки целесооб­разности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициен­та дисконтирования r обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государ­ственным банком).