Примеры. Для вычисления пределов используют процедуру limit()

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5-1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Для вычисления пределов используют процедуру limit(). В качестве аргументов указывают выражение и то значение, к которому стремится переменная. Данная процедура имеет также неактивную форму Limit() (с большой буквы).

Примеры.

1.

> Limit((tan(x)-x)/(x-sin(x)), x=0)=limit((tan(x)-x)/(x-sin(x)), x=0);

Выражение с неактивной формой процедуры в левой части команды необходимо для символьного представления предела. Чтобы не набирать дважды, левую часть равенства можно сохранить в буфер командой Ctrl-Insert, затем вставить из буфера после знака равенства командой Shift-Insert. После этого заменить заглавную букву L на строчную и в конце поставить точку с запятой. При нажатии Enter появится символьная запись предела и его вычисленное значение. Проделайте это.

2.

Сначала следует наложить ограничение на переменную e, иначе вычислительное ядро Maple попытается найти предел для произвольного значения этого параметра. А поскольку значение предела существенно зависит от знака e, получить общую зависимость Maple не сможет.

> assume(eps> 0);

> Limit(ln(x)/(x^eps), x=infinity)=limit(ln(x)/(x^eps), x=infinity);

После обозначения переменной eps стоит тильда ~, обозначающая, что на эту переменную наложено ограничение.

3.

Получите решение:

> Limit((sin(x)/x)^(1/(x^2)), x=0)=limit((sin(x)/x)^(1/(x^2)), x=0);

Вычислите пределы и сравните с ответами, приведёнными в скобках.

4. (25/2)

5. (1/4)

6.

7. ()

8.

9.

10.

11.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

12а. (2)

12б. (–2)

> Limit(sqrt(x^2+8*x+3)-sqrt(x^2+4*x+3), x=infinity)=limit(sqrt(x^2+8*x+3)-sqrt(x^2+4*x+3), x=infinity);

> Limit(sqrt(x^2+8*x+3)-sqrt(x^2+4*x+3), x=-infinity)=limit(sqrt(x^2+8*x+3)-sqrt(x^2+4*x+3), x=-infinity);

Построим график к примеру 12. Зададим функцию, переводящую х в у;

> y: =x-> sqrt(x^2+8*x+3)-sqrt(x^2+4*x+3);

> plot(y, -35..30, y=-5..3, numpoints=800);

Видим, что у графика этой функции есть горизонтальные асимптоты. Это горизонтальные прямые у=2 и у=-2. Нанесём их на график пунктиром:

> plot([y, -2, 2], -35..30, y=-5..3, color=[red, blue, blue], linestyle=[solid, dash, dash], numpoints=800);

Поясните понятие предела на бесконечности, используя этот график.

13. Предел тангенса вблизи точек, не входящих в область определения.

> Limit(tan(x), x=Pi/2)=limit(tan(x), x=Pi/2);

Предел, равный бесконечности, не определён. Дадим приближённое значение Pi/2:

> Limit(tan(x), x=1.57)=limit(tan(x), x=1.57);

Получилось очень большое значение. На минус Pi/2 получим отрицательное значение с таким же модулем:

> Limit(tan(x), x=-1.57)=limit(tan(x), x=-1.57);

Построим график.

> plot(tan(x), x=-Pi..Pi, -4..4);