Примеры решения задач. Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с

Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать закон этих колебаний, считая, что при t = 0 смещение х = 0. Определить фазу φ для двух моментов времени: 1) когда смещение точки х₁ = 6 см; 2) когда скорость точки v = 10 см/с.

Решение:

Так как в начальный момент времени t = 0 смещение точки х = 0, то начальная фаза колебаний φ ₀ = 0. В общем виде зависимость координаты точки от времени можно представить в виде

,

где ω t = φ – фаза колебаний.

Т.к. , то .

Подставив в формулу значения амплитуды и периода, получаем:

.

Значение фазы при смещении точки х, определим из выражения откуда

; .

Для определения фазы φ ₂ получим закон зависимости скорости от времени, взяв первую производную от смещения х:

откуда

Ответ: ; .

Пример 2. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки v _max = 10 см/с, максимальное ускорение а_max = 100 см/с². Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Написать законы колебаний.

Решение:

- закон зависимости координаты гармонического колебания точки от времени.

Скорость - первая производная координаты.

при ;

следовательно,

. (1)

Ускорение

a = a _max при sin ω t = 1; следовательно,

a _max = v_max ω (2)

Из (1) и (2) получаем:

;

следовательно,

Из (1): ;

Т.к. , то ; .

Значения А, ω подставляем в уравнение (t):

.

Ответ: ; Т = 0, 628 с; А = 0, 01 м; х = 0, 01sin10.

Пример 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, закон которых имеет вид: . Найти возвращающую силу F в момент времени t = 0, 1 с, а также полную энергию Е точки.

Решение:

По второму закону Ньютона .

Так как ускорение - вторая производная то координаты, то

(1)

(2)

.

Полная энергия E_полн равна максимальному значению кинетической энергии

.

Из (1) при ; следовательно, .

Ответ: возвращающая сила через t = 0, 1 с равна ; полная энергия .

Пример 4. Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период его колебаний?

Решение:

Период обращения диска (как физического маятника) определяется формулой

,

где J – момент инерции диска относительно оси «О» определяем по теореме Штейнера

,

где - момент инерции относительно точки «С»; а = R – расстояние между осями.

Следовательно,

.

Тогда

.

Произведем вычисления

.

Ответ: период колебания диска относительно точки «О» Т = 1, 35 с.

Пример 5. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 8 пФ и катушку индуктивностью L = 0, 5 мГн. Каково максимальное напряжение U_max на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока I _max = 40 мА?

Решение:

Закон изменения заряда на обкладках конденсатора q от времени имеет вид:

.

В цепи колебательного контура сила тока изменяется по закону - производная от заряда по времени

,

где .

Максимальный заряд на обкладках

,

а циклическая частота собственных колебаний

.

Следовательно,

.

Из последнего выражения

.

Ответ: максимальное напряжение на обкладках конденсатора .

Пример 6. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде . Емкость конденсатора равна 10^-7 Ф. Найти: 1) период колебаний; 2) индуктивность контура; 3) закон изменения со временем силы тока в цепи.

Решение:

Из закона U(t) циклическая частота ; приравниваем правые части выражений и выразим период:

;

.

Период колебания в контуре определяется параметрами контура - формула Томсона.

Отсюда индуктивность контура

;

.

Закон изменения заряда на обкладках конденсатора

;

Закон изменения силы тока в цепи колебательного контура

Ответ: Т = 2 ∙ 10^-4 с; L = 10 мГн; I = - 157sin10⁴ π t (мА).

3 Метод векторных диаграмм

Одним из самых наглядных математических методов изображения гармонически изменяющихся величин является метод векторных диаграмм, или вращающегося вектора амплитуды (рисунок 3.1).

Если из начала координат на плоскости (точка О) под углом φ, равным фазе колебаний в начальный момент времени провести вектор , модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания, и привести его во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью ω ₀, равной циклической частоте, то угол будет увеличиваться и соответственно проекция вектора на горизонтальную ось ох будет совершать гармонические колебания по закону , т.е. проекция амплитуды на горизонтальную ось наглядно изобразит мгновенное значение данной величины (например, смещение маятников, изменение заряда и т.д.).

Векторная диаграмма дает возможность увидеть фазу колебания одной из величин и разность фаз между несколькими гармонически изменяющимися величинами, построенными на диаграмме таким же образом.

Понятие фазы и разности фаз несут большие сведения о колебаниях, так как задав фазу на диаграмме мы одновременно задаем смещение и направление изменения величины.