Уравнение и график бегущей волы

Бегущей волной называется волна, переносящая энергию в пространстве в некотором направлении. Уравнением бегущей волны является зависимость смещения х колеблющейся частицы среды в некоторый момент времени от ее координаты ℓ.

Пусть в некоторой точке О упругой среды находится колебательная система, совершающая гармонические колебания по закону х = Acosω t (рисунок 5.5). Некоторая частица среды в точке С, удаленной от источника колебаний О на расстояние ℓ ₁ на луче волны будет запаздывать по времени на величину

τ = ℓ ₁/υ,

где υ - скорость распространения фазы волны - фазовая скорость, м/с.

Тогда уравнение гармонического колебания частицы С запишется в виде:

(5.4)

Учитывая, что ω = 2 π ν, частота колебаний ν = 1/ Т, a υ T = λ - длина волны, выражение (5.4) можно записать в виде:

(5.5)

где - волновое число, м^-1;

А - амплитуда волны, м;

ω – циклическая частота, с^-1;

(ω t ­ kℓ 1)- фаза волны в некоторый момент времени t;

Т - период колебаний, с.

Выражение (5.5) является уравнением плоской гармонической волны. Уравнение плоской волны можно записать также в комплексной форме, основываясь на формуле Эйлера

, (5.6)

где - мнимая единица:

(5.7)

Уравнение сферической волны имеет вид:

(5.8)

где r - расстояние от центра волны (точечного источника), до рассматриваемой точки среды, м;

A0 - амплитуда источника, м.

В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний убывает с расстоянием по закону .