Математическая, компьютерная, фрактальная музыка

Реферат по курсу " Сложные системы"

Выполнила: студентка I курса магистратуры

специальности " когнитивные исследования"

Лесникова Ангелина Сергеевна

Преподаватель:

Куперин Юрий Александрович

Санкт-Петербург 2015

Со времён Галилея, а может быть и раньше, точным наукам известно, что наша Вселенная гораздо лучше описывается языком математики, чем любым другим человеческим языком. Некоторые современные учёные идут ещё дальше; например, в своей недавно выпущенной книге “Наша математическая Вселенная: мой поиск глубинной природы реальности” профессор Массачусетского технологического института Макс Тегмарк утверждает, что наш мир не просто описывается языком математики, но что он " создан ей". [1] Текущий уровень нашего понимания устройства Вселенной пока не позволяет нам с точностью решить, так это или нет; в конце концов, мы “открыли” символьный язык природы, будь то заполнение электронных орбиталей в атоме или кодирование белков ДНК, тогда, когда изобрели и в достаточной мере развили своё символьное мышление и язык; возможно, наша дальнейшая эволюция откроет нам совершенной иной механизм мышления - и даст новый взгляд на то, как устроен мир. Но пока что математический аппарат - это самый совершенный язык, который у нас есть, и то, насколько он универсально применим для моделирования и предсказания практически любых естественных - и искусственных - процессов, вызывает восхищение человечества на протяжении сотен лет. Благодаря математике мы узнали, почему звёзды движутся по своим траекториям, а атомы водорода, который горит, и кислорода, который окисляет и обеспечивает горение, образуют молекулы воды - вещества, которое является неплохим способом тушения горящих предметов. И благодаря математике мы узнали, как и из чего создаётся музыка, которая была и есть одним из самых загадочных по воздействию на человеческую психику явлений.

Одним из первых известных нам теоретиков, попытавшихся объединить музыку и математику, был Пифагор. Существует легенда, что Пифагор, проходя однажды мимо кузницы, обратил внимание, что молотки, имевшие разные веса, производят разные звуки, что заставило его впоследствии в ходе экспериментов выяснить, что разность звуков зависела от математической разницы в массе инструментов, а не от силы удара или формы молотка. Продолжив свои исследования со струнами, Пифагор открыл основные соотношения музыкального строя, впоследствии названного “пифагоровым”: например, что основные гармонические интервалы, т.е. октава, чистая квинта и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относятся как 2: 1, 3: 2 и 4: 3. Существует предположение, что именно идея о том, что музыкальные интервалы неразрывно связаны с числовыми значениями, подтолкнула Пифагора к дальнейшему поиску математических соотношений и в других явления окружающего мира и космоса. [2] Так или иначе, но именно Пифагор впервые открыл математический принцип, благодаря которому частоту искомой ноты всегда можно предсказать, зная её порядковый номер и частоту исходной ноты.

Однако предложенная Пифагором система порождала и некоторые проблемы: в построенном по его принципу звукоряде целое число квинт не укладывается в целое число октав, и в этой системе невозможно играть в произвольной тональности, не фальшивя. Эту проблему спустя столетия решил немецкий композитор Андреас Веркмейстер (1645-1706). В основу своей системы он положил три простых, но элегантных математических принципа:

- во-первых, отношение частот одинаковых нот в соседних октавах должно быть равно двум;

- во-вторых, ровно двенадцать нот должно лежать между этими частотами (что равняется числу полутонов в октаве);

- в-третьих, все полутона должны быть равны. [3]

Такой музыкальный строй получил название равномерно темперированного строя. Этот строй господствует в европейской профессиональной музыке с XVIII века и по сегодняшний день. [4]

Таким образом, к XVIII веку математика прочно вошла в теорию музыки как аппарат, способный формализовать музыкальный язык, изначально основанный на интуиции. Но постепенно набирал силу и обратный процесс, а именно использование для написания музыки “формальных приемов, не выводящихся напрямую из слухового опыта, а часто и противоречащих ему”. [5] Считается, что одной из самых значимых техник музыкальной композиции, созданных композиторами XX века, является серийная техника.

Серийная техника - это метод написания музыки, сутью которого является “использование в качестве звуковысотной основы музыкального произведения серии (ряда) неповторяющихся звуков”. [6] В рамках серийной техники принцип серийности может распространяться не только на звуковысотность, но и на другие музыкальные характеристики (например, динамику, ритм, артикуляцию, тембр). [5] Основоположником серийной техники (или сериализма) считается австро-американский композитор Арнольд Шёнберг. Он же является автором одной из разновидностей серийной техники под названием “додекафония”. В основе произведения, сочиненного по канонам додекафонии, лежит ряд из 12 неповторяющихся нот (который и называется “серией”). На протяжении звучания произведения эта серия используется как объект для последующих математических трансформаций (таких как отражение от вертикальной или горизонтальной оси, пропорциональное уменьшение длительности и так далее). [5]

Арнольд Шёнберг также был основателем кружка композиторов, вошедшего в историю под названием “Новая венская школа”. Ученики Шёнберга продолжили его дело, развивая и совершенствуя методы серийных техник. Одним из выдающихся учеников А. Шёнберга был Антон Веберн, стремившийся найти или создать формообразующие закономерности на уровне более мелком, чем серия, и углубить наши представления о родстве между музыкой и математикой. [5] Веберн писал: “…можно сказать, что музыка есть закономерность природы, воспринимаемая слухом”. [7] И, наконец, ряд “нововенцев” довели математизацию музыки до предела, присвоив всем музыкальным характеристикам (длительностям нот, громкости и пр.) числовые значения и сведя процесс написания музыки к математическим операциям с числами. Эксперименты нововенцев привели к возникновению в теории музыки большого течения, называемого “алгоритмическая музыка” или “алгоритмическая композиция”.

Алгоритмическая музыка.

Алгоритимческая композиция - это “техника использования алгоритмов для написания музыки”. [8] К числу первых экспериментов в области создания алгоритмической музыки относится использование классических математических схем и операций. Например, музыкант Дэвид Макдоналд записал, как звучит число Пи, выбрав тональность Ля минор и присвоив каждой ноте цифровое значение от 0 до 9. [9] Аналогичным образом было записано звучание чисел Фибоначчи и других математических рядов; немного более сложные техники включают операции с матрицами (сложение или умножение матриц), методов комбинаторики и так далее. Один из крупных композиторов XX века Янис Ксенакис видел своей задачей выработку “универсального музыкально-логического аппарата на основе ряда областей математики и некоторых общенаучных дисциплин”. [10] Тремя столпами его музыкальных произведений, перечисленных в его книге “Формализованная музыка”, были теория множеств, теория вероятностей и теория информации. [11] Он ввёл в музыкальную терминологию понятие “стохастическая музыка”, описывая музыку, основанную на теории вероятностей и законах больших чисел. Для Ксенакиса “исчисление вероятностей” стало инструментом управления сложностью музыкальных событий. Например, в его оркестровой композиции “Achorripsis” события, связанные с проявлением тех или иных музыкальных элементов, таких как тембр, высота, громкость, продолжительность, были распределены по всей композиции в соответствии с распределением Пуассона. [11] (Янис Ксенакис был не только композитором, но и архитектором. Одним из самых знаменитых произведений Яниса Ксенакиса был представленный в 1958 году на международной выставке Expo павильон Philips, созданный им совместно с французских архитектором Лё Курбузье. Здание имело форму гиперболического параболоида и его производных, а в стенах павильона на бесконечном повторе играл трёхминутный трек Ксенакиса “Concret PH”, созданный при помощи уравнения, также описывающего гиперболический параболоид). [5][12]

Несмотря на то, что стохастическая (или “алеаторная”) музыка подразумевает создание музыки на основе принципа случайности, финальный набор звуков в композиции, как правило, не случаен. Это связано, во-первых, со сложностью самого процесса получения случайности, поскольку большинство широко распространённых генераторов случайных чисел на самом деле выдают лишь “псевдослучайные” ряды. Во-вторых, резонной альтернативой абсолютной случайности в музыке является “управляемая” случайность, когда задаются некоторые изначальные ограничения на получение “случайности”.

Одним из первопроходцев в использовании математического моделирования для написания алгоритмической музыки был американский композитор (и доктор химических наук) Лежарен Хиллер, в своём произведении 1955 года “Сюита Иллиака для струнного квартета” впервые применивший метод марковских цепей. “Цепь Маркова - это последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем, что <...> при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого”. [13] Марковские цепи используются для моделирования случайных процессов. Как правило, создаётся первоначальная матрица вероятностей для первой итерации, и далее система развивается случайным образом в соответствии с заданными параметрами. Сутью метода использования марковских цепей в музыке является построение вектора вероятностей для каждой ноты в марковской цепи первого порядка, а “цепи более высоких порядков группируют ноты в паттерны и последовательности с последующей генерацией с учетом фазовой структуры”. [14]

Другим математическим методом генерации музыкальной фактуры является клеточный автомат, изобретённый Джоном фон Нейманом в 1966 году (марковские цепи можно рассматривать как частный случай клеточных автоматов). Клеточные автоматы - это “дискретные динамические системы, поведение которых полностью определяется в терминах локальных зависимостей”. [15] По сути, клеточные автоматы состоят из набора локусов, или клеток, поведение которых в каждый такт времени определённым, заранее предписанным образом зависит от состояния соседних клеток [16]. Первым композитором, применившим клеточные автоматы в алгоритмической музыке, был доктор математических наук из Бразилии Эдуардо Рек Миранда. Он создал интерактивную систему “CAMUS”, которая генерировала мелодию на основе двух клеточных автоматов - “игры в жизнь” фон Неймана и “Demon Cyclic Space” Больцмана. В “CAMIUS” Миранда первый клеточный автомат отвечает за выбор нот (как и в классическом аккорде, нот в каждый ход три: первая нота выбирается заранее из темперированной 12-нотной последовательности, а две другие задаются координатами положения клетки в пространстве клеточного автомата). Второй клеточный автомат определяет, какой инструмент будет использоваться для исполнения мелодии. [14] В качестве примера использования клеточных автоматов в современном российском искусстве можно привести мультимедийную инсталляцию Виктора Черненко “Жизнь как частный случай дискретных клеточных автоматов”, которая была представлена на выставке в Екатеринбурге в 2009 году. [17]

Фрактальная музыка.

Семидесятые и восьмидесятые годы ХХ века характеризовались повышением интереса математического сообщества к уравнениям, описывающим поведение нелинейных динамических систем. Постепенно этот интерес перешёл в музыкальную среду, и, как следствие, на сегодняшний день одним из самых популярных методов написания алгоритмической музыки является использование фракталов. [3] “Фрактал - это математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения”. [18] Примеры фракталов приведены на рисунках 1 и 2:

Рис. 1. Дракон Хартера-Хэтуэйя. Источник [19].	Рис. 2. Множество Аполлона. Источник [20].

Исторически, идея применения фрактальных методов возникла, когда обнаружилось, что любая музыка, независимо от стилей и направлений, представляет собой фрактальное броуновское движение, или " розовый шум". Розовый шум по своим характеристикам находится между полностью хаотическим белым шумом и крайне упорядоченным (слишком однообразным, чтобы считаться музыкой) коричневым шумом. Соответственно, возник вопрос: если розовый шум строится с помощью фракталов, а вся музыка – это розовый шум, возможно ли сочинять музыку фрактальными методами?

Рис. 3. Белый шум. Источник [25].

Рис. 4. Розовый шум. Источник [25].

Рис. 5. Коричневый шум. Источник [25].

Ответом было – да, можно. Экспериментальным путём была найдена величина фрактальной размерности, равная 1, 4, которая звучит наиболее приятно для человеческого уха. [25] На сегодняшний день существует масса способов использования в музыке геометрии фракталов.

Как правило, фракталы делят на три большие группы:

1) Геометрические (конструктивные) фракталы, которые генерируются по принципу пошаговой замены одной из частей ломаной (в двумерном случае) или поверхности (в трёхмерном) на другую, называемую генератором.

2) Алгебраические (динамические) фракталы, получаемые путём исследования эволюции нелинейных динамических систем в многомерных пространствах.

3) Стохастические фракталы, которые получаются путём внесения случайных изменений в параметры построения в процессе итераций. [21]

Сонификация, а именно перевод геометрических фракталов в ноты по определённым присвоенным принципам (например, с помощью привязки фигуры к определённой сетке координат, одно из измерений которой будет отвечать за высоту звука, а другая за его длительность), является одним из самых распространённых способов создания фрактальной музыкальной композиции. [22] Благодаря сонификации можно послушать, как звучат вышеприведённые множество Аполлона и дракон Хартера-Хэйтуэя, или ещё более известные ковёр Серпинского и снежинка Коха, или любые другие фракталы. Что интересно, звуковая аранжировка для выбранного фрактала может быть разной, но рисунок ткани музыкального произведения, его композиция будет неизменной.

L-системы также являются распространённым методом создания фрактальной музыки. Изначально предложенные в 1968 году венгерским биологом и ботаником Аристридом Линденмайером для изучения формальных языков и поведения простых многоклеточных организмов, они оказались идеальным инструментом для построения большого количества математических фракталов. [23] Любая L-система состоит из алфавита, аксиомы и набора правил. Алфавит - это конечное множество символов, используемое в конкретной L-системе. Аксиома - изначальное состояние системы, а правила - это предписания, в соответствии с которыми система будет развиваться [24]. Рассмотрим метод L-системы в музыке на простом примере:

● Алфавит: A B C D

● Аксиома: A B

● Правила: A A B C

B C A D

C D C

D B D B

Выбранной аксиомой является “A B”. После первой итерации мы получим “A B C C A D”, после второй “A B C C A D D C D C A B C B D B” и так далее. L-системы быстро растут, поэтому для написания “первичного” текста достаточно небольшого количества итераций. Следующим шагом является его перевод в музыкальное звучание. Самым простым способом будет приписать каждому символу определённую ноту, добавив некоторые другие знаки, например, для обозначения пауз. Вариантом этого метода может быть присвоение каждому символу определённого аккорда.

Кроме того, возможен способ графической визуализации создания L-систем. Он называется тёртл-графикой (от англ. “turtle” - черепаха, так как получаемый рисунок напоминает узор панциря черепахи). При применении метода тёртл-графики используются четыре базовых символа: " F", " f", " +", и " -". Они читаются как инструкции для “рисования” мелодии. Символ “F” означает команду “продвинуться вперёд на один шаг и нарисовать линию”, “f” - “продвинуться вперёд на шаг, не рисуя линию”, “+” - “повернуть на х градусов влево” и “-” - “повернуть на х градусов вправо”. Визуальный вариант тёртл-графики приведён на рисунке 6. [25]

Рис. 6. Тёртл-графика. Источник [25].

В музыкальной графике горизонтальное движение “черепахи” может рассматриваться как длительность ноты, а вертикальное - как изменение высоты звука. Нотный вариант вышеприведённого тёртл-рисунка показан на рисунке 7. [25]

Рис. 7. Нотная интерпретация тёртл-графики на рис. 6. Источник [25].

Другие подходы к созданию алгоритмической музыки.

Ограниченность и по определению присущая математической музыке " искусственность" заставили композиторов искать новые пути развития музыкальных алгоритмов. В частности, это привело к попыткам использования в музыкальных технологиях моделированных естественных природных процессов: нейронных сетей, генетических алгоритмов, молекулярных структур.

Искусственные нейронные сети представляют собой цепочки ячеек, способных устанавливать между собой устойчивые связи и управлять их качеством. В природе часто используемые нейронные пути становятся шире и проводят сигнал быстрее и лучше. Подобную аналогию применяют и в искусственных нейронных сетях. Однако проблема состоит в том, что в живом организме образование нервных соединений происходит естественным путём в процессе взаимодействия организма и окружающей среды, и " хорошими" нейронными связями считаются те, которые увеличивают адаптацию. Таким образом, " мозг является самообучающейся машиной" [26], а искусственную нейронную сеть необходимо " научить", привить ей определённые стратегии. Применительно к музыке это означает, что, прежде чем научить искусственную нейронную сеть писать музыку в определённом стиле, ей необходимо продемонстрировать сходные музыкальные образцы, попутно " объясняя", что в музыке отвечает за стилевую направленность и как музыкальные направления различаются между собой. В итоге задачей композитора будет не только создать искусственную нейронную сеть, но ещё и музыкальную теорию, и базу данных для обучения машины. [26]

Генетические алгоритмы – " ещё один класс алгоритмов, попавший в музыку из биологии транзитом через математику" [26]. В данной интерпретации геном представляет собой набор генов, каждый из которых имеет набор приписанных музыкальных значений, таких как высота, длительность звука и так далее. В процессе написания произведения происходит " скрещивание" генов и их рекомбинация, образующая новое " поколение". Впоследствии производится " селекция", то есть отбор удачных геномов для последующего скрещивания, процесс, сходный с отбором " хороших" нейронных путей. [26]

Концепция самоопределяемых данных является одной из самых последних предложенных альтернатив написания алгоритмической музыки. Прообразом в данном подходе служит модель самосборки молекулярных структур. Ключевой особенностью этого метода служит то, что данные (в данном случае музыкальные) не отделяются от инструкций по их обработке, являясь, по сути, автономными агентами, способными производить и обрабатывать информацию. Естественной (природной) аналогией таких " самосборных" структур являются, например, молекулы ДНК. [26]

Заключение.

Подводя итоге вышесказанному, можно сказать, что процесс написания алгоритмической музыки сводится к выбору метафоры, которой представляется композитору музыка как сложная самоорганизующаяся система – это может быть, например, клеточный автомат, фрактал или ген. Однако музыкальные программы, генерирующую музыку на основе только одного выбранного принципа, как правило, не дают эстетически удовлетворительный результат. По этой причине наиболее часто применяются гибридные системы, сочетающие два и более алгоритмических метода. [8]

Несомненным фактом и достижением нашей эпохи является то, что, по выражению Андрея Лёушкина, " современная наука предлагает новые методы изучения не только явлений природы, но и искусства" [3]. Однако как среди композиторов, так и среди слушателей всё ещё существует " тоска по настоящим инструментам: " люди скучают по физическому созданию музыки: вероятно, возможность играть на инструментах физически все еще имеет значение" [27], пишет Юри Сузуки, японский саунд-экспериментатор. Поэтому, несмотря на то, что, по выражению автора многочисленных изданий музыкально-компьютерной тематики Юрия Петелина, " не осталось, пожалуй, ни одной сферы жизни, в которую человек не впустил бы умнеющую день ото дня машину, порой негодуя по поводу самим же им содеянного и не без основания побаиваясь конкуренции" [21], роль человека как творца музыки компьютер в ближайшее время вряд ли заменит.

На мой взгляд, ключевым фактором, который препятствует и будет препятствовать главенствованию компьютеризованного интеллекта в музыке, является невозможность объективизации понятия " красота", по крайней мере, на данном этапе нашего человеческого развития. Что такое чувство красоты и существуют ли какие-либо универсальные законы " красивого" – это вопросы, которые занимают умы не только обычных людей и даже профессиональных искусствоведов, но и научное сообщество в целом. В своей книге " Истина и красота" британский математик Иэн Стюарт пишет о том, что именно поиски симметрии являются глубинным смыслом работы физиков и математиков на протяжении многих веков. В своей недавней книге " Начало бесконечности: объяснения, которые меняют мир" знаменитый физик Дэвид Дойч идёт ещё дальше. По его мнению, разгадка секрета красоты позволит нам использовать его как алгоритм для поиска новых научных теорий, поскольку в их основе лежит всё тот же принцип элегантности: " Когда мы станем лучше разбираться в том, что на самом деле представляет собой элегантность, возможно, мы найдем новые и более удачные пути поиска истины с помощью элегантности или красоты" [29]. Пока трудно предсказать, действительно это произойдёт или нет, но это, несомненно, красивая и элегантная идея! Tantum tempus narrabo[1].

Приложение.

Примеры музыкальных произведений, сознанных с помощью математических алгоритмов:

· Арнольд Шёнберг " Verklä rte Nacht" https://www.youtube.com/watch? v=U-pVz2LTakM

· Антон Веберн " Четыре отрывка для скрипки и пианино" https://www.youtube.com/watch? v=FkH--HOJAqw

· Янис Ксенакис " Метастазис"
https://www.youtube.com/watch? v=SCe25-TXbFk

· Виктор Черненко " Жизнь как частный случай клеточных автоматов"
https://www.youtube.com/watch? v=PoJYSYU1nk4

· Дэвид Макдоналд. Число Пи
https://www.youtube.com/watch? v=pR3nkJ2f4jo

· Ряд Фибоначчи
https://www.youtube.com/watch? v=Wx4ZfuMl-FI

· Фрактальная музыка
https://www.youtube.com/watch? v=j9kCNabqyGg

· Лежарен Хиллер, Леонард Айзексон " lliac Suite for String Quartet" (применены теория вероятностей, марковские цепи, генеративная грамматика)
https://www.youtube.com/watch? v=n0njBFLQSk8

Список литературы:

1. Is the Universe Made of Math? [Excerpt] // Scientific American: онлайн-издание научного журнала URL: https://www.scientificamerican.com/article/is-the-universe-made-of-math-excerpt/ (дата обращения: 5.04.2015).

2. Пифагор. Золотой канон. (онлайн-версия книги) // PRO и CONTRA: интернет-ресурс URL: https://vzms.org/Piph.htm (дата обращения: 5.04.2015).

3. Андрей Лёушкин. Фракталы и музыка // M-rush: интернет-ресурс URL: https://m-rush.ru/theory/item/162-fraktaly-i-muzyka.html (дата обращения: 5.04.2015).

4. Равномерно темперированный строй // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерно_темперированный_строй (дата обращения: 5.04.2015).

5. Виктор Черненко. Как писать музыку с помощью математики // Zillion.net: образовательный ресурс URL: https://zillion.net/ru/blog/241/kak-pisat-muzyku-s-pomoshch-iu-matiematiki (дата обращения: 5.04.2015).

6. Серийная техника // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Серийная_техника (дата обращения: 5.04.2015).

7. Антон Веберн. Цитаты // Викицитатник: интернет-ресурс URL: https://ru.wikiquote.org/wiki/Антон_Веберн (дата обращения: 5.04.2015).

8. Algorithmic composition // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Algorithmic_composition (дата обращения: 5.04.2015).

9. Как звучит число Пи. // YouTube: видео-ресурс URL: www.youtube.com/watch? v=pR3nkJ2f4jo (дата обращения: 5.04.2015).

10. И.Б. Горбунова, М.С. Заливадный. Опыт математического представления музыкально-логических закономерностей в книге Я. Ксенакиса " Формализованная музыка" // TERRA HUMANA: научно-теоретический журнал URL: https://m.terrahumana.ru/arhiv/12_04/12_04_28.pdf (дата обращения: 5.04.2015).https://www.theremin.ru/lectures/stochastic.htm

11. Андрей Смирнов. Стохастическая музыка // Термен-центр: сайт центра электроакустической музыки URL: https://www.theremin.ru/lectures/stochastic.htm (дата обращения: 5.04.2015).

12. Янис Ксенакис // Музпросвет: интернет-ресурс URL: https://www.muzprosvet.ru/xenakis.html (дата обращения: 5.04.2015).

13. Цепь Маркова // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/Цепь_Маркова (дата обращения: 5.04.2015).

14. Славщик А.А. Краткий обзор методов алгоритмической композиции // Сибирский федеральный университет: официальный сайт URL: conf.sfu-kras.ru/sites/mn2012/thesis/s012/s012-087.pdf (дата обращения: 5.04.2015).

15. Г.Б. Астафьев, А.А. Короновский, А.Е. Храмов. Клеточные автоматы // Саратовский государственный университет: официальный сайт URL: https://nonlin.sgu.ru/data/papers/Train/CellAutomat.pdf (дата обращения: 5.04.2015).

16. Клеточный автомат // Nature.air.ru: интернет-ресурс URL: https://nature.air.ru/models/ca.htm (дата обращения: 5.04.2015).

17. Victor Chernenko. Life is a particular case of discrete cellular automaton // YouTube: видео-ресурс URL: https://www.youtube.com/watch? v=PoJYSYU1nk4 (дата обращения: 5.04.2015).

18. Фрактал // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал (дата обращения: 5.04.2015).

19. Кривая дракона // Википедия: онлайн-энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_дракона (дата обращения: 5.04.2015).

20. Фракталы из окружностей // Fractalworld: интернет-ресурс URL: https://fractalworld.xaoc.ru/Fractals_of_circles (дата обращения: 5.04.2015).

21. Юрий Петелин. Математика плюс музыка // Музыкальный компьютер: интернет-ресурс URL: https://www.petelin.ru/pcmagic/math/math.htm (дата обращения: 5.04.2015).

22. Виктор Черненко. Матемузыка 2: музыка, биология, язык, математика // Zillion.net: образовательный ресурс URL: https://zillion.net/ru/blog/251/matiemuzyka-2-muzyka-biologhiia-iazyk-matiematika (дата обращения: 5.04.2015).

23. L-системы // Научная библиотека избранных естественно-научных изданий URL: https://stu.sernam.ru/book_fah.php? id=9 (дата обращения: 5.04.2015).

24. L-системы // Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова: официальный сайт URL: https://mech.math.msu.su/~shvetz/54/inf/perl-problems/chLSystems.xhtml (дата обращения: 5.04.2015).

25. Chris Hazard, Catherine Kimport, David Johnson. Fractal music // Tursiops Truncatus Studios: студия интерактивных искусств URL: https://www.tursiops.cc/fm/ (дата обращения: 5.04.2015).

26. Виктор Черненко. Матемузыка 3: музыкальное программирование // Zillion.net: образовательный ресурс URL: https://zillion.net/ru/blog/333/matiemuzyka-3-muzykal-noie-proghrammirovaniie (дата обращения: 5.04.2015).

27. Анастасия Подберёзкина. Музыка будущего: 7 изобретений Юри Сузуки // Zillion.net: образовательный ресурс URL: https://zillion.net/ru/blog/276/muzyka-budushchiegho-7-izobrietienii-iuri-suzuki (дата обращения: 5.04.2015).

28. Стюарт И. Истина и красота: всемирная история симметрии. М.: Астрель, 2010.

29. Дэвид Дойч. Начало бесконечности: объяснения, которые меняют мир // Esquire: онлайн-издание URL: https://esquire.ru/david-deutsch (дата обращения: 5.04.2015).

[1] Время покажет (лат.)