Решение. 1. Нахождение оптимального распределения товаров , . [> restart; U:=(Q[1]^a[1]*Q[2]^(a[2]-a[1]))/((Q[1]+10)^a[2]): with(plots):

1. Нахождение оптимального распределения товаров , .

[> restart; U: =(Q[1]^a[1]*Q[2]^(a[2]-a[1]))/((Q[1]+10)^a[2]): with(plots): with(LinearAlgebra): /задаем функцию полезности, строим поверхность, проверяем условия, которым удовлетворяет функция полезности: 1) частные производные первого порядка положительны, 2) чистые частные производные второго порядка отрицательны, 3) матрица Гессе отрицательно-определенная/ [> a[1]: =1/2: a[2]: =2/3: U: =U; [> plot3d([U], Q[1]=0..2, Q[2]=0..3); [> MU[1]: =simplify(diff(U, Q[1])): MU[2]: =simplify(diff(U, Q[2])): Gradient_U: =[MU[1], MU[2]]; [> G[1, 1]: =simplify(diff(MU[1], Q[1])); G[1, 2]: =simplify(diff(MU[1], Q[2])); G[2, 1]: =simplify(diff(MU[2], Q[1])); G[2, 2]: =simplify(diff(MU[2], Q[2])); [> Q[1]: =10: Q[2]: =15: [> Gesse: =Matrix(2, 2, [[evalf(G[1, 1]), evalf(G[1, 2])], [evalf(G[2, 1]), evalf(G[2, 2])]]); Gessian: =evalf(Determinant(Gesse)); /находим оптимальное распределение товаров (вектор Optimal_Raspredelen), используя функцию Лагранжа и применяя к ней необходимое условие точки условного экстремума/ [> restart; [> U: =(Q[1]^a[1]*Q[2]^(a[2]-a[1]))/((Q[1]+10)^a[2]): p[1, 0]: =3: p[2, 0]: =2: Max_Dohod: =60: p[1]: =p[1, 0]: p[2]: =p[2, 0]: a[1]: =1/2: a[2]: =2/3: [> g: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]-Max_Dohod: L: =U-lambda*g: [> sys: ={diff(L, Q[1])=0, diff(L, Q[2])=0, diff(L, lambda)=0}: [> Optimal_Raspredelen: =fsolve(sys, {Q[1], Q[2], lambda}); /находим оптимальное распределение товаров – вектор optimal_Max, используя функцию Maximize из пакета Optimization/ [> with(Optimization): [> budget_ogran: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]< =Max_Dohod; [> optimal_Max: =Maximize(U, {budget_ogran}, assume=nonnegative); optimal_Max[1]; optimal_Max[2, 1]; optimal_Max[2, 2]; /строим кривые безразличия и линию бюджетного ограничения с помощью команды implicitplot из графического пакета plots. Точка касания линии бюджетного ограничения с кривой безразличия есть точка оптимального распределения товаров: optimal_Max[2, 1]; optimal_Max[2, 2]/ [> with(plots): [> implicitplot([U=optimal_Max[1], U=optimal_Max[1]-0.1, U=optimal_Max[1]+0.1, U=optimal_Max[1]-0.2, U=optimal_Max[1]+0.2, p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]=Max_Dohod], Q[1]=0..50, Q[2]=0..50);

2. Нахождение прямых функций спроса , на товары в зависимости от цен.

/находим аналитический многофакторный вид функций спроса от цен и дохода/ [> restart; [> p[1, 0]: =3: p[2, 0]: =2: Max_Dohod: =60: a[1]: =1/2: a[2]: =2/3: U: =(Q[1]^a[1]*Q[2]^(a[2]-a[1]))/((Q[1]+a[2]-a[1])^a[2]): [> g: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]-I_max: L: =U-lambda*g; [> sys: ={diff(L, Q[1])=0, diff(L, Q[2])=0, diff(L, lambda)=0}: [> optimal: =solve(sys, {Q[1], Q[2], lambda}): optimal[2]; optimal[3]; /находим аналитический вид прямых функций спроса от цен. Для нахождения прямой функции спроса от цены фиксируем доход и цену / [> I_max: =Max_Dohod: optimal[2]; plots[implicitplot](optimal[2], p[1]=0..100, Q[1]=0..2, thickness=4); /делаем отмену оператора присваивания для переменных. Для нахождения вида прямой функции спроса от цены фиксируем доход и цену / [> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': I_max: ='I_max': [> I_max: =Max_Dohod: p[1]: =p[1, 0]: optimal[3]; plots[implicitplot](optimal[3], p[2]=0..100, Q[2]=0..2, thickness=4);

Вывод. Прямые функции спроса , от цены являются убывающими, выпуклыми вниз. При неограниченном росте цены каждого товара спрос на них падает до нуля. При нулевом значении цены товара спрос на него конечен и равен . Наличие максимально возможной субъективной потребности потребителя в данном товаре говорит о том, что он является необходимым продуктом питания.

3. Нахождение перекрестных функций спроса , на товары в зависимости от цен.

[> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': I_max: ='I_max': [> I_max: =Max_Dohod: p[1]: =p[1, 0]: optimal[2]; plots[implicitplot](optimal[2], p[2]=0..50, Q[1]=0..2); [> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': I_max: ='I_max': [> I_max: =Max_Dohod: p[2]: =p[2, 0]: optimal[3]; plots[implicitplot](optimal[3], p[1]=0..300, Q[2]=0..20);

Вывод. Спрос на товар не зависит от цены на товар (потребитель будет приобретать товар при любом уровне цен ). Спрос на товар снижается при росте цены на товар до фиксированного уровня единицы (при росте цены на товар потребитель уменьшает свои притязания на товар до уровня минимально возможной объективной потребности в этом товаре).

4. Нахождение функций спроса , на товары в зависимости от дохода потребителя.

[> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': I_max: ='I_max': [> p[1]: =p[1, 0]: p[2]: =p[2, 0]: optimal[2]; plots[implicitplot](optimal[2], I_max=0..Max_Dohod+200, Q[1]=0..2); [> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': I_max: ='I_max': [> p[1]: =p[1, 0]: p[2]: =p[2, 0]: optimal[3]; k: =limit(optimal[3]/I_max, I_max=+infinity): b: =limit(optimal[3]-k*I_max, I_max=+infinity): [> plots[implicitplot]([optimal[3], k*I_max+b], I_max=0..10, Q[2]=0..10);

Вывод. Используя классификацию функций Торнквиста, получаем, что товар – предмет первой необходимости, товар – предмет роскоши. Спрос на товар начинается с дохода , а при неограниченном росте дохода () имеется устойчивый спрос на товар (, горизонтальная асимптота ). Спрос на товар начинается с дохода , а при неограниченном росте дохода тенденция изменения спроса приближается к линейной зависимости (существует наклонная асимптота ).