Статическая модель Леонтьева трудовых ресурсов

Данную модель будем рассматривать при следующих условиях:

1) пусть , где трудоемкость единицы продукта. При этом для обеспечения валового выпуска требуется труда;

2) задано ограничение ресурса труда так, что ;

3) выбрана структура конечного спроса в виде:

, (6.3)

где , единичный вектор, .

Тогда при этих условиях модель Леонтьева можно решать только для тех , для которых хватит труда. То есть при заданной технологической матрице , ограниченных ресурсах труда и структуре конечного спроса (6.3) модель Леонтьева приобретает вид следующей ЗЛП:

или

(6.4)

В этой задаче - переменная и - линейное ограничение. Можно доказать [3], что ЗЛП (6.4) всегда имеет оптимальное решение

, , .

Составим двойственную ЗЛП (ДЗЛП) к задаче (6.4). Введем вектор-столбец двойственных оценок материальных ресурсов ( – цена -го продукта, ), ставка зарплаты, вектор-строка зарплат на единичные отраслевые выпуски.

Для составления ДЗЛП запишем исходную ЗЛП в матричном виде:

Тогда соответствующая ДЗЛП имеет вид:

или

(6.5)

Так как ЗЛП (6.4) имеет оптимальное решение

, , ,

то в соответствующей ДЗЛП (6.5) первые два ограничения должны выполняться как равенства:

,

откуда можно доказать [3], что вектор-столбец удовлетворяет равенству

, (6.6)

где вектор полных трудовых затрат.

Пример 6.3. Пусть задана структура конечного спроса (6.3), где вектор , ограничение на ресурсы . Используя технологическую матрицу из примера 6.2, найти вектор валового выпуска, вектор двойственных оценок материальных ресурсов и ставку зарплаты. Проверить справедливость условия (6.6).

Ниже приведен текст программы с ее описанием.

[> with(simplex): with(LinearAlgebra): with(Optimization): [> system_ogran: = {(a[1, 1]-1)*x[1]+a[1, 2]*x[2]+a[1, 3]*x[3]+alpha*y0[1]< =0, a[2, 1]*x[1]+(a[2, 2]-1)*x[2]+a[2, 3]*x[3]+alpha*y0[2]< =0, a[3, 1]*x[1]+a[3, 2]*x[2]+(a[3, 3]-1)*x[3]+alpha*y0[3]< =0, l[1]*x[1]+l[2]*x[2]+l[3]*x[3]< =L[0]}: object_function_f: =alpha: /Задание коэффициентов матрицы А прямых затрат (см. пример 6.2), единичного вектора , вектор-строки l/ [> y0: =Vector([1/3, 2/3, 2/3]): l: =Vector([2, 4, 3]): L[0]: =3000: /решаем прямую ЗЛП для модели Леонтьева c ограниченными ресурсами/ [> system_ogran; Optimal: =evalf(maximize(object_function_f, system_ogran, NONNEGATIVE)); [> evalf[6](Maximize(object_function_f, system_ogran, assume=nonnegative)); /выдаем ответы вектор-столбцы x, y и / [> Optimal[1]; X: =Vector([Optimal[2], Optimal[3], Optimal[4]]); Y: =Vector([Optimal[1]*y0[1], Optimal[1]*y0[2], Optimal[1]*y0[3]]); /составляем ДЗЛП и решаем ее. Объект dual_ это ДЗЛП с неотрицательной переменной z (вектор). Выводим ДЗЛП: целевую функцию и систему ограничений/ [> dual_: =dual(object_function_f, system_ogran, z); [> object_function_g: =dual_[1]; system_ogran_dual: =dual_[2]; /находим оптимальное решение ДЗЛП с помощью процедуры minimize (результат в объекте Optimal_dual). Выводим результат в виде вектор-столбца цен/ [> Optimal_dual: =evalf(minimize(object_function_g, system_ogran_dual, NONNEGATIVE)): [> w: =Optimal_dual[1]; p: =Vector([Optimal_dual[2], Optimal_dual[3], Optimal_dual[4]]); /выполняем проверку условия (6.6). Переменная l_0 – вектор полных трудовых затрат/ [> E: =IdentityMatrix(3): l_0: =MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(E-Transpose(A)), l): evalf[6](VectorScalarMultiply(l_0, w));