Задание формы упругой поверхности свободно опертой пластины при потере устойчивости в виде двойного тригонометрического ряда (3)

Упругая поверхность свободно опертой пластины при потере устойчивости в самом общем виде может быть представлена тригонометрическим рядом:

(3)

3. Граничные условия на кромках рассматриваемой прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины (4)

Каждый член ряда (3) удовлетворяет граничным условиям на контуре рассматриваемой пластины, т. е. условиям равенства нулю в точках на контуре величины прогиба пластины и изгибающих моментов:

(4)

4. Уравнение, устанавливающее сочетание нагрузок Т₁ и Т₂, при котором свободно опёртая по контуру прямоугольная пластина может потерять устойчивость (8)

Подставляя формулу (3) в дифференциальное уравнение (1), Получим

или

(5)

Рассматриваемая пластина может потерять устойчивость при таком сочетании нагрузок Т₁ и Т₂, при котором какая-либо из скобок, входящих в выражение (5), обратится в нуль.

При этом соответствующее А_mn может стать отличным от нуля и форма потери устойчивости пластины будет

(6)

Таким образом, эйлерово сочетание нагрузок Т₁ и Т₂ определится из условия:

Учитывая обозначения (2), получим

(7)

или

(8)

5. Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях. (11)

Для дальнейшего исследования полезно выражение (7) переписать следующим образом:

(9)

При различных комбинациях чисел «m» и «n» мы имеем, на основании выражения (9) линейную зависимость между напряжениями σ ₁ и σ ₂.

Будем откладывать на оси абсцисс некоторой системы координатных осей напряжение σ ₁, а на оси ординат—напряжение σ ₂ (рис. 2). Тогда любой точке плоскости будет соответствовать некоторая комбинация напряжений σ ₁ и σ ₂

Рис.2

Рассматривая пластину с определенным отношением сторон а: b, можем, задаваясь различными «m» и «n», построить ряд прямых по уравнениям (9). Область тех напряжений, при которых пластина не теряет устойчивости, будет ограничена ближайшими к началу координат участками всех построенных прямых различных «m» и «n».

Легко убедиться, что для определения этих участков нужно построить лишь прямые, соответствующие различным «m» при n=1 и различным «n» при m=1.

Если σ ₁=σ _{2 .}, т. е. пластина одинаково сжата в обоих направлениях, то на основании выражения (9) получим

σ ₁=σ ₂ (10)

Правая часть формулы (10) растет при увеличении чисел «m» и «n». Поэтому в таком случае для разыскания эйлеровых значений сжимающих напряжений следует в формуле (10) положить m = n =1. Тогда получим

(11)

где - цилиндрическая жесткость пластины.

Следовательно, одинаково сжатая в двух пластина теряет устойчивость с образованием одной полуволны независимо от величины отношения а: b.

6. Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях.

7. Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны пластины. (12)

Если пластина сжата лишь в одном направлении, то ее эйлерову нагрузку можно найти из общих зависимостей предыдущего параграфа, положив в них σ ₂=0. На основании формулы (9) получим

(12)

8. Установление числа полуволн формы потери устойчивости прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны (15).

Число полуволн «m», образующихся вдоль направления сжатия при потере устойчивости пластины, будет зависеть от отношения а: b.

Действительно, каждому отношению а: b должно соответствовать определенное число «m», при подстановке которого в формулу скобка, входящая в ее правую часть, будет принимать наименьшее значение.

(13)

Это число «m» должно, очевидно, удовлетворять тому условию, при котором при подстановке в правую часть формулы вместо m величины (m+ 1) и (m— 1) значение скобки будет увеличиваться. Это условие запишется в виде:

(14)

Из выражения (15) можно получить:

(15)

Последние неравенства показывают, что на длине пластины образуется следующее число полуволн:

и т.д.

9. Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура (16)

Для стальной пластины с параметрами Е=2, 15*10⁶ кг/см²; μ =0, 3, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:

(16)

Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=110·10³ МПа = 1, 1·10⁶ кг/см² и μ =0, 3 вдоль короткой стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Е_ст, тогда:

10. Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура (17)

Для стальной пластины с параметрами Е=2, 15*10⁶ кг/см²; μ =0, 3, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:

(17)

Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=110·10³ МПа = 1, 1·10⁶ кг/см² и μ =0, 3 вдоль длинной стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Е_ст, тогда:

11. Устойчивость пластин, свободно опертых по двум кромкам. Решение в виде ординарного тригонометрического ряда. Расчётная схема (рис. 3)

Рис.3

12. Решение для упругой поверхности пластины, у которой кромки х = const свободно оперты на жесткий контур (18)

Рассмотрим пластину, у которой кромки х = const свободно оперты на жесткий контур, и загруженную сжимающими усилиями в направлении оси ох. Решение для упругой поверхности такой пластины можно искать в виде ординарного тригонометрического ряда:

(18)

13. Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины (24). Дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять функции (20)

Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины:

(19)

где Т₁= - σ ₁h

Функции должны удовлетворять дифференциальному уравнению:

(20)

14. Общий интеграл для функций (21)

На основании решения, полученного при рассмотрении изгиба пластин, свободно опертых по двум кромкам, формула общего интеграла для функций запишется в виде:

(21)

где

(22)

15. Граничные условия для функции , для пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам, (25)

Рассматриваемое решение позволяет исследовать устойчивость пластин при различных условиях закрепления на кромках, параллельных сжимающей нагрузке.

Продольные кромки жестко заделаны (рис.4).

Рис. 4

В этом случае граничные условия для упругой поверхности пластины w(х, у) будут:

(23)

Учитывая, что ожидаемая форма потери устойчивости будет симметрична относительно оси ох, можем в общем интеграле функции сохранить лишь четные члены, т. е. записать его в виде

(24)

и подчинить это выражение граничным условиям на кромке .

Учитывая выражения (18) и (23), получим следующие граничные условия для функции :

(25)

16. Система линейных однородных уравнений относительно постоянных A_m и С_m (26)

Подчиняя выражение (24) условиям (25), получим

(26)