Уравнения Лагранжа 2-го рода.

Уравнения Лагранжа 2-го рода:, (i=1, 2…s) – дифференциальные уравнения второго порядка, s – число степеней свободы системы (число независимых координат); q_i – обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); – обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),

Т = Т(q₁, q₂, …, q_S, , … , t) – кинетическая энергия системы, Q_i – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.

Для вычисления обобщенной силы, например Q₁, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме dq₁, равны нулю:

dq₁¹ 0, dq₂= dq₃=…= dq_S= 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу dА₁ всех активных сил, приложенных к системе. Имея dА₁= Q₁dq₁, находим .

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то , П = П(q₁, q₂, …, q_S, t) – потенциальная энергия.

Вводится функция Лагранжа: L = T – П, тогда – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в выражение для кинетической энергии, тогда – квадратичная форма обобщенных скоростей, a_ij= a_ji – коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.

25 Уравнения возможных работ и мощностей в обобщённых силах. Условие равновесия механической системы в обобщенных координатах.

34.3.2. Понятие об обобщённых силах.

Уравнения динамического равновесия в обобщённых силах

.

Оно справедливо для любого возможного перемещения системы. Но для решения конкретных задач все возможные перемещения не нужны. Нужны лишь в количестве, обеспечивающем составление максимума независимых друг от друга уравнений, а их ( - число степеней свободы механической системы). Причём, нужны такие возможные перемещения, при которых алгебраические преобразования сводятся до минимума. А там же (в разделе 32) было показано, что простота достигается одиночными вариациями обобщённых координат.

В развёрнутом виде эти простейшие, в количестве , уравнения предстают в виде столбца уравнений из строк, с соответствующими нижними индексами, а в свёрнутом виде: .

Делим левую и правую части записанного уравнения на вариацию -той обобщённой координаты (на ). Получающиеся отношения называют: - -тая внешняя обобщённая сила; - -тая внутренняя обобщённая сила; - -тая обобщённая сила инерции.

Итак, получены

уравнения возможных работ и мощностей в обобщённых силах