Основные теоретические положения.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоретические положения……………………………………………4

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши……………………………………………4

1.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными………………….5

1.1.2. Однородные уравнения………………………………………….6

1.1.3. Линейные уравнения…………………………………………….6

1.1.4. Уравнения Бернулли…………………………………………….7

1.1.5. Уравнения в полных дифференциалах………………………..8

1.2. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные определения, теорема Коши ……………………………………….….9

1.2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка………………10

1.2.2. Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка.........................................................................................11

1.2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……………………12

1.2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………….13

2. Теоретические вопросы…………………………………………………………14

3. Задание к выполнению типового расчета……………………………………...15

4. Примерный типовой вариант №0……………………………………………….15

5. Решение примеров типового варианта №0…………………………………….16

6. Варианты заданий для самостоятельного решения…………………………...27

Список литературы…………………………………………………………………40

Основные теоретические положения.

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши

Определение. Функциональное уравнение

(1)

или

, (2)

связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и её производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение. Решением уравнения (1) или (2) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения (1) в области называется функция , обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной ; 2) для любого начального условия такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Определение. Уравнение определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении (2) функция непрерывна и имеет непрерывную производную в некоторой области D, то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и притом единственно, т.е. через точку проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.