Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций

Мы уже отмечали, что условия, при выполнении которых функция является аналитической, достаточно жесткие. Это и обуславливает справедливость следующей теоремы.

Теорема 2 (Теорема Коши). Если - односвязная область комплексной плоскости и - однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой кривой , лежащей в области , интеграл от вдоль равен нулю: .

Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной области.

Из теоремы 2 вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых и с общим началом и концом имеют равные значения.

В самом деле, кривая является замкнутой, и, следовательно,

откуда

Это означает, что интеграл от функции , аналитической в односвязной области , не зависит от кривой (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой , соединяющей точки и , можно пользоваться обозначением .

Рассмотрим интеграл от аналитической функции, если конечная точка – переменная, т.е. есть некоторая функция от верхнего предела:

Можно показать, что - аналитическая функция, и что ее производная равна . Таким образом, интеграл является первообразной для подынтегральной функции (определение первообразной аналитической функции аналогично определению первообразной функции действительной переменной).

И это позволяет сделать вывод о справедливости формулы Ньютона-Лейбница:

,

здесь - одна из первообразных функции , ().

Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции к отысканию какой-либо первообразной функции и, следовательно, использовать известные формулы и методы интегрирования функций действительной переменной. В частности, если и аналитические функции, то будет справедлива формула интегрирования по частям:

.

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому воспользуемся формулой интегрирования по частям:

= =

=

Аналитические функции комплексного переменного обладают следующим замечательным свойством:

Теорема 3. (Интегральная формула Коши) Если - внутренняя точка односвязной области , ограниченной замкнутым контуром , - аналитическая в замкнутой области функция, то справедлива формула:

Иными словами, если мы знаем значение аналитической функции на границе односвязной области, то мы можем найти значение этой функции в любой внутренней точке области.

Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если однозначная функция комплексного переменного имеет всюду в области первую производную, то она имеет в этой области и все производные высших порядков, которые могут быть найдены по формуле:

Интегральную формулу Коши и формулу для производных высших порядков можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию . Аналитичность этой функции нарушается в точках: (точки, в которых знаменатель равен 0). Контур, по которому вычисляется интеграл: , есть окружность с центром в точке и радиусом 3. Внутри этого контура лежит точка , поэтому внутри контура подынтегральная функция не является аналитической. Запишем эту функцию в виде: . Тогда функция является аналитической внутри замкнутого контура. Воспользуемся интегральной формулой Коши:

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках . Внутри контура есть только одна из них: . Преобразуем подынтегральную функцию к виду:

.

Функция - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить теорему 4 (в данном случае ):