Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)
|
|
Если функция 
непрерывна в области, содержащей точку 
, то уравнение 
имеет решение 
такое,
что 
. Если, кроме того, непрерывна и частная производная 
, то это решение единственно.
Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида
называют уравнением с разделенными переменными. Функции 
и 
будем считать непрерывными.
Произведем интегрирование и получим связь между переменными 
и 
, освобожденную от их дифференциалов
,
т. е. функцию, которая является общим решением исходного уравнения.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения 
.
РЕШЕНИЕ.
Запишем уравнение в виде 
. 
Переменные разделены, так как множитель перед дифференциалом 
является функцией только от переменной , а множитель перед 
функцией только от переменной . Интегрируя обе части уравнения, получим
или 
.
Если умножить уравнение на 2 и ввести обозначение 
, то общее решение можно записать в виде 
.
Интегральными кривыми для исходного уравнения являются окружности с центром в начале координат.
|
|