Математические методы, применяемые в геологических исследованиях

Использование математических методов в геологических исследованиях обеспечивает воспроизводимость результатов, позволяет максимально унифицировать форму представления материала и производить его обработку сообразно системе строгих, логически непротиворечивых правил.
Применение математических методов в геологии сопряжено с двумя целевыми аспектами: получением практических выводов из существующих теоретических представлений и моделей геологии и совершенствованием теоретических представлений и моделей геологии.
Внедрение математики в практику геологических работ подчинено четырем основным взаимосвязанным направлениям:
1) обработке числовых результатов наблюдений (методы теории вероятностей и математической статистики, математический анализ, теория игр, геометрические методы и др.);
2) исследованию качественных характеристик (математическая логика, прикладная кибернетика);
3) реконструкции геологических процессов и прогноз (моделирование с использованием различных математических аппаратов);
4) оптимизации процессов сбора, хранения, поиска и обработки геологической информации (теория информации и техническая документалистика).
Эффект математизации целесообразно оценивать по результатам решения двух основных задач — научной (разработка теории, повышение надежности выводов, минимизация субъективного элемента в работе исследователя) и экономической (оперативность заключений, сокращение затрат времени на производимые работы и их удешевление).
При проверке решений о согласии теоретических представлений геологии с опытным материалом особенно велика роль математической статистики.
Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов, наука занимающаяся описанием и анализом результатов наблюдений массовых явлений методами теории вероятностей. Типичные задачи математической статистики — определение типов распределений случайной величины, проверка статистических гипотез, оценивание параметров и т. п. математическая статистика содержит глубокие теоретические направления.
Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Для анализа пространственных распределений в геологии используется геостатистика.
Геостатистика — наука и технология, которая исследует и анализирует статистическими методами распределение объектов, явлений и процессов в географическом пространстве.
В основе геостатистики — вариограммный анализ (кригинг). Как правило, объекты, явления и процессы, которые расположены ближе в пространстве, являются более подобными между собой сравнительно с теми, которые более удалены друг от друга.Вариограмма — график, который показывает зависимость между дисперсией признака в определенных местоположениях и расстоянием между последними. Эта зависимость используется для предсказания значений в других местоположениях, то есть при пространственной интерполяции. Например, по известным значениям высоты земной поверхности в некоторых точках, можно определить значения в неизвестных точках между ними.
Кластерный анализ (англ. Data clustering) — задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Задача кластеризации относится к статистической обработке, а также к широкому классу задач обучения без учителя. Кластерный анализ — это многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы (кластеры)(Q-кластеризация, или Q-техника, собственно кластерный анализ). Кластер — группа элементов, характеризуемых общим свойством, главная цель кластерного анализа — нахождение групп схожих объектов в выборке. Спектр применений кластерного анализа очень широк, - его используют в различных дисциплинах, в том числе и в геологии.
Дискриминантный анализ — раздел вычислительной математики, представляющий основное средство решения задач Распознавания образов, инструмент статистики, который используется для принятия решения о том, какие переменные разделяют (т.е. «дискриминируют») возникающие наборы данных (так называемые «группы»). Нейронные сети могут использоваться для дискриминантного анализа (в среде специалистов нейронные сети часто шутливо называют «распознаванием для ленивых»).
Наиболее общим применением дискриминантного анализа является включение в исследование многих переменных с целью определения тех из них, которые наилучшим образом сочетаются между собой.
Анализ дисперсионный — статистический метод обработки результатов наблюдений, зависимых одновременно от нескольких факторов, анализ этих наблюдений, выбор более важных факторов и оценка их влияния. Если имеется выборка? ₁,...,? _n из генеральной совокупности, причем? _i =? _1i? ₁ +? _2i? ₂+... +? _pi? _p+ e_i, где i= 1,..., п, {? _ji}— известные постоянные, равные 0 или 1; е₁,..., е_n — ошибки наблюдений, то цель А. д. получить выводы относительно {e_i}, { a_j }, {? _ji} указывают на отсутствие или присутствие факторов при проведении наблюдений. Если {? _ji} пробегают непрерывное множество значений, то получим регрессионный анализ. В этом случае устанавливается связь между величинами в экспериментах, где {? _ji} — независимая величина, значение которой задается при планировании эксперимента, а {? _i} — наблюдения зависимой переменной?. Если среди {? _ji} есть функция переменных двух видов, то имеем ковариационный анализ.
Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
После внедрения ЭВМ в практику геологических работ особенно широкое распространение получил так называемый Тренд-анализ. Задачи, связанные с выделением тренда, используются при сопоставлении и расчленении разрезов, картировании геологических характеристик [3].
Тренд-анализ — совокупность математических приемов, основанных на аппроксимации наблюденных значений геол. характеристик с целью выявить основную тенденцию в изменении этих характеристик на площади или в разрезе в зависимости от параметров. Для аппроксимации наблюденных значений обычно применяют какую-либо функцию от времени или от координат точки, подбираемую по методу наименьших квадратов. Аппроксимация наблюденных данных, зависящих от одной переменной, получила название временного тренда (= f(t), time trend analysis). Аппроксимация наблюденных данных, зависящих от двух переменных, в частности от географических координат точки наблюдения = f (?,?), получила название анализа поверхности тренда, или Тренд-анализ. Этот метод анализа впервые использован для выявления региональной и локальной компоненты характеристик при решении палеогеографических задач [8].
Метод главных компонент — совокупность приемов, позволяющих выделить ведущие факторы вариации исследуемых случайных величин. Основан на нахождении собственных чисел и собственных векторов корреляционной матрицы с последующим взвешиванием компонентов собственных векторов. Эти компоненты после соответствующего взвешивания дают значения коэффициентов корреляции с независимыми факторами, представленными через линейную комбинацию значений исследуемых случайных величин. Комбинации находятся таким образом, что представляют собой оси ортогональной системы координат и являются независимыми друг от друга.
Метод имеет большие перспективы в минералогии, геохимии, палеонтологии и т. п. во всех случаях, когда можно предполагать, что значения случайной величины флюктуируют под воздействием ограниченного числа причин и эти причины могут быть выражены через исследуемые случайные величины.
Факторный анализ — статистический метод проверки гипотез о влиянии различных факторов на изучаемую случайную величину. Разработана и общепринята модель, при которой влияние фактора представлено в линейном виде. Процедура анализа сводится к оценочным операциям с помощью метода наименьших квадратов. В зависимости от характера исследуемых факторов выделяется три типа Факторного анализа: дисперсионный, регрессионный и ковариационный, или корреляционный. Дисперсионный анализ вводится тогда, когда факторы подразделяются на качественные категории (напр., при изучении влияния тект. фактора можно выделить градации — мульда, крыло, свод). Регрессионный анализ используется при проверке гипотез, когда факторы охарактеризованы количественно (напр., влияние глубины залегания горизонта на содержание в руде полезного ископаемого). Ковариационный, или корреляционный, анализ применим тогда, когда часть факторов представлена в количественных, др. часть — в качественных категориях. В последние годы получила распространение модель, при которой факторы не известны. Эти факторы восстанавливаются путем разложения ковариационной, или, фактор, выявляемый анализом, выражается линейно через первоначальные случайные величины и поэтому поддается интерпретации после его выделения. Пусть имеется п случайных величин у₁, y₂,...y_n, которые являются линейными комбинациями с р неизвестными постоянными? ₁,? ₂,...? _p: y_i = х_1i? ₁, +х_2i? ₂, +...+ х_Pi? _P, + e_i, (1)
i = 1, 2,..., п
где {х_ji} (j= 1,..., р; i = 1,..., п) — известные постоянные коэф.;
{e_i} (i = 1,..., n) — случайные величины, иногда их интерпретируют как ошибки наблюдений.
Считаем, что ei — распределены нормально, математическое ожидание Ee_i = 0, i = 1, 2,..., п, E(e_ie_j) =? ²? _ij, где? ² — неизвестная константа,. Тогда дисперсионный анализ — система статистических методов обработки наблюдений, имеющих вид (1), где {x_ji} принимают значения 0 или 1. Здесь {х_ji } указывают на наличие или отсутствие влияний разл. факторов {? } при проводимых наблюдениях. Если {х_ji } пробегают непрерывные множества значений, то мы имеем регрессионный анализ. Здесь {х_ji } — независимые переменные, а {y_i} — зависимые от них переменные. В случае, когда {х_ji} — переменные 2 видов, такой анализ называется ковариационным, или корреляционным. Наиболее удачно применялись в геологии методы факторного анализапри изучении косой слоистости каменноугольных отложений США; при оценке распределений плагиоклазов в красноцветных отложений полуострова Че-лекен; при оценке влияния на концентрацию ртути различных факторов на месторождении Хайдаркан. Факторный анализв настоящее время широко применяется для анализа закономерностей размещения оруденения и прогнозирование месторождений полезных ископаемых.
Матрица — прямоугольная таблица из элементов произвольной природы. Матрица записывают в виде или в сокращенном виде (a_ij) или || a_ij ||, где i = 1, 2,..., т; j — 1, 2,..., п; а_ij — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-гo столбца. Если m = п, то Матрица квадратная. Для Матрицы определены действия сложения, умножения на число, перемножения матриц. Матрица с неотрицательными элементами, суммы элементов которых по строкам равны единице, называются стохастическими. Они имеют большое значение в геологии как аппарат изучения геологических процессов, например, слоеобразования, кристаллизации гранитных расплавов.
Информатика — область знания, исследующая принципы и методы оптимального сбора, хранения, поиска и обработки информации, в частности, геологической.
Математическая (Аналитическая) геология, [4] — научная дисциплина, занимающаяся математическим моделированием геологических процессов и примыкающими к этому вопросу задачами.