Сущность и условия применения многомерных статистических моделей

Многомерные статистические модели позволяют описать геологические объекты как системы множества взаимосвязанных признаков. Эти модели в геологии обычно изучают с помощью процедур многомерного корреляционного анализа, многомерного регрессионного анализа, кластерного, факторного, дискриминантного анализов.

В качестве математической модели значений комплекса признаков рассматривается многомерная случайная величина, которая часто называется случайным вектором. Многомерные модели подразуме­вают вероятность нормального статистического распределения рас­сматриваемых случайных величин или хотя бы возможности их нормализации. Однако статистические критерии для большинства процедур многомерного анализа разработаны при очень сильных ограничениях или основываются на логических соображениях. Неко­торые многомерные модели и методы (например, метод главных компонент и многие методы распознавания образов) вообще не имеют статистического обоснования, а критерии значимости для них еще не созданы.

Вследствие сложных стохастических взаимосвязей между изуча­емыми признаками (переменными) часто не удается принять пра­вильного решения относительно каждой из них. В таких случаях очень эффективно всестороннее исследование системы с выделением наиболее важных факторов, объединяющих влияние нескольких пе­ременных.

Многомерные методы статистических исследований сложны как с теоретических, так и с методологических позиций.

В большинстве многомерных геологических задач приходится иметь дело со сложными сочетаниями действующих факторов, которые не удается выделить в чистом виде и изучить изолированно. Тем не менее многомерные методы являются весьма перспективными и многообещающими средствами геологических исследований, по­скольку они позволяют геологу одновременно работать с большим числом переменных, чем он может осознать сам. Совместное изучение комплексов взаимосвязанных переменных (признаков) способствует выявлению дополнительной, часто весьма существенной, информации об изменчивости свойств изучаемых объектов и обеспечиваег воз­можность прогнозирования их неизвестных свойств.

Для работы с многомерными математическими моделями необхо­димо знание основ линейной алгебры, поскольку записи исходных данных и математические действия над ними производятся в матрич­ной форме. Общие сведения о матрицах наблюдений и результатов вычислений можно найти в работе Дж. Дэвиса.

30. Кластерный анализ – задачи и применение в геологии

Кластерный анализ – совокупность методов классификации и разбивка объектов и многомерных наблюдений на однородные группы. Составление классификаций подчиняется следующим правилам:

- в одной классификации применяется одно и то же основание;

- объем классифицируемого класса равняется сумме объемов подклассов;

-классы и подклассы не пересекаются.

Процедура кластерного анализа предусматривает возможность классификации точек наблюдений в исследуемой выборке, а также самих признаков. В качестве меры сходства при классификациях применяют различные дистанционные коэффициенты: m -мерноеэвклидово расстояние, коэффициенты корреляции и др. Задачи классификации разделяются по типу априорной информации на три типа: 1) число классов задано априорно; 2) число классов неизвестно и его следует определить; 3) число классов неизвестно, но его определение не входит в условие задачи. Две последние ситуации приводят к построению иерархических деревьев – дендрограмм. Это графики, на которых по одной оси располагаются символические обозначения объектов исследования, а по другой оси – минимальные значения дистанционных коэффициентов, соответствующих каждому шагу классифицирующей процедуры. Таким образом, ось с дистанционными коэффициентами используется для масштабного представления иерархических уровней группирования.

31. Графические и табличные формы кластерного анализа???

Графическое представление результатов обычно осуществляется в виде дерева иерарахической кластеризации. По оси X располагаются классифицируемые объекты (на одинаковом расстоянии друг от друга); по оси Y – расстояния, на основании которых происходит объединение объектов в кластеры.
В ряде программ имеется возможность вывести в табличном виде результаты объединения объектов на каждом шаге кластеризации. В большинстве таких таблиц во избежание путаницы используется различная терминология для обозначения исходных наблюдений - монокластеров, и собственно кластеров состоящих из двух и более наблюдений. В англоязычных статистических пакетах исходные наблюдения (строки матрицы данных) обозначаются как " случай" - case.

32. Множественная регрессия и её использование для предсказания свойств геологических объектов

В отличие от двумерной регрессии в методах множественной регрессии зависимая переменная Y рассматривается как функция не одной, а нескольких независимых переменных X ₁, X ₂,..., X_m.

Уравнение множественной регрессии зависимой переменной Y относительно т независимых переменных X _{1, 2, …, m} записывается как линеаризированная функция вида

, (VI.1)

где a ₀, a ₁, a ₂, …, a_m – требующие определения коэффициенты регрессии. Оно наилучшим способом (в смысле наименьших квадратов) описывает тенденцию расположения наблюденных точек в m -мерном пространстве и позволяет оценить совместное влияние всех изучаемых параметров на зависимую переменную.

Множественная регрессия строится на основе учета всех возможных взаимодействий между переменными и их сочетаниями. В ее задачи входит оценка общего вклада всех переменных (R ²) в изменчивость Y, а также определение относительного влияния каждой из них с помощью коэффициентов a_i,. Таким образом, множественный регрессионный анализ сводится к вычислению значений коэффициентов регрессионной модели a ₀, a ₁, a ₂, …, a_m по совокупности п наблюдений над переменными X ₁, X ₂,..., X_m и Y, оценке влияния каждой переменной и их общего вклада в оценку зависимой переменной Y. В матричной форме уравнение (VI.1) записывается как:

[ Σ Y ] = [ Σ X ] [ a ],

где [ Σ Y ] – вектор-столбец, состоящий из сумм квадратов и смешанных произведений переменной Y с переменными X ₁, X ₂,..., X_m; [ Σ X ] – матрица сумм квадратов и смешанных произведений X ₁, X ₂,..., X_m; [ a ] – вектор-столбец неизвестных коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии a_i рассчитываются как частные коэффициенты регрессии, характеризующие изменения данной независимой переменной при условии, что влияние всех остальных переменных устранено.

Для сравнительной оценки вклада каждой зависимой переменной коэффициент R² сначала рассчитывается для пары Y и X_k с максимальным коэффициентом корреляции, а затем последовательно с тремя и более переменными (до т переменных).

Модели множественной регрессии используются для предсказаний значений зависимой переменной (например, содержаний ценного элемента, объемной массы руды и глубины формирования минерала и др.) по набору независимых переменных (например, содержаний породообразующих элементов, объемных масс тяжелых минералов в рудах, содержаний элементов-индикаторов в минералах и др.).