Замечание

Формула Тейлора

, тогда (1)

(1) – формула Тейлора с остаточным членом в форме Пиана

Доказательство

Пусть и ,

Тогда будем доказывать пор методу математической индукции.

I. ,

II. Предположим, что формула справедлива при

III. Докажем для

Рассмотрим, что функция т.е.

По определению

(по теореме Лагранжа, представляем , как некоторое значение)

,

Докажем вторую часть

Пусть

Заметим, что

Согласно пункту 1 , тогда функция – локальная функция Тейлора.

Основные разложения по формуле Тейлора

Имеем разложения, если остаточный член в форме Пиана , тогда (1) - формула Тейлора с остаточным членом в форме Пиана, ее называют локальной формулой Тейлора.

Если и , то из (1) следует (2): - формула Макларена.

Замечание

- четная, - нечетная и наоборот.

Следовательно

Для нечетной

Для четной

Т.к. и при принимает значения равные нулю.

Поэтому формула (2) для бесконечно дифференцируемой четной функции может быть представлена в виде:

(3)

(4)

I. Показательная функция.

1.

А.

Б.

II. Тригонометрические функции

2.

A.

3

4

III Степенная функция

А.

Б.