Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Упражнение 2. Следующие высказывания могут быть интерпритированы как составные






Следующие высказывания могут быть интерпритированы как составные. Указать элементарные высказывания их составляющие, написать формулы данных высказываний и построить истинностные таблицы. Указать, какие из высказываний равносильны.

S1: Х неверно сделал расчет или если Y считал задачу правильно, то и Z сделал это без ошибок.

S2: Если Х правильно просчитал задачу, то либо Y ошибся, либо Z сделал ее верно.

S3: Либо Х неверно просчитал задачу, либо Y решил ее верно в том и только в том случае, если Z решил ее верно.

 

Очевидно, данные сложные высказывания составлены из следующих элементарных.

А: Х правильно просчитал задачу

B: Y правильно просчитал задачу

C: Z правильно просчитал задачу

 

Используя основные логические связки, запишем формулы данных высказываний.

Составим истинностные таблицы данных высказываний:

 

Таблица.7

А В С В®С S1 S2 В«С S3
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

 

Из таблицы 7 видно, что высказывания S1 и S2 равносильны: S1=S2.


Приведем список основных равносильных формул алгебры высказываний:

 

АÚ А=А  
  АÙ А=А  
  АÚ В=ВÚ А  
  АÙ В=ВÙ А  
  (АÚ В)Ú С=АÚ (ВÚ С)  
  (АÙ В) Ù С=АÙ (ВÙ С)  
  АÙ (ВÚ С)=(АÙ В) Ú (АÙ С)  
  АÚ (ВÙ С)=(АÚ В) Ù (АÚ С)  
  AÚ И=И  
  AÙ Л=Л  
  AÙ И=A  
  AÚ Л=A  
  закон исключенного третьего
   
   
   
   
   
   

Отметим, что операции импликации и двойной импликации можно заменить дизъюнкцией, конъюнкцией, отрицанием, используя следующие равносильные формулы:

Рассмотрим множество всех логически возможных случаев, множество всех возможных логических ситуаций для высказываний, связанных с некоторой проблемой, - некоторое универсальное множество. Поставим в соответствие каждому переменному высказыванию некоторое подмножество универсального множества логических возможностей и назовем его множеством истинности данного высказывания. Множество истинности данного высказывания содержит в качестве своих элементов все те логически возможные случаи, когда данное высказывание является истинным.

Высказыванию, истинному во всех логически возможных случаях, т.е. логической константе, обозначаемой 1 или И, будет соответствовать универсальное множество. Высказыванию, ложному во всех логически возможных случаях, т.е. логической константе, обозначаемой 0 или Л,

будет соответствовать пустое множество. Тогда дизъюнкции двух высказываний будет соответствовать объединение (сумма) их множеств истинности, конъюнкции - пересечение их множеств истинности, а отрицанию к высказыванию - дополнение к множеству истинности данного высказывания. Учитывая это и сравнивая список основных равносильных формул алгебра высказываний со списком свойств основных операций над множествами, убеждаемся в том, что операции алгебры высказываний образуют Булеву алгебру.

Заметим следующее: для того, чтобы убедиться в равносильности двух формул, можно построить их истинностные таблицы и убедиться в их совпадении. Равносильность формул можно установить также, убедившись в совпадении множеств истинности рассматриваемых высказываний. Так в справедливости закона дистрибутивности №7 можно убедиться, изобразив на диаграммах Эйлера-Венна множества истинности левой и правой части равенства (рис. 2.1.1).

 
 

 


Рис. 1.

Установить равносильность формул можно также путем их преобразования. Так заменяя импликацию равносильной ей формулой получим равносильность формул S1 и S2 упражнения 2.1.2:

Рассмотрим некоторые упражнения на данную тему.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.