Лекция 2. Отображения. Отношения.

Если каждому элементу хÎ Х поставлен в соответствие некоторый элемент yÎ Y, то говорят, что определено отображение f множества Х во множество Y. Обозначают y=f(x). Элемент y есть образ элемента х при данном отображении f, х - прообраз элемента y и обозначают .

Частным случаем отображения множества Х во множество Y является отображение множества Х на множество Y. Отображение f множества Х в Y является отображение множества Х на Y, если каждому элементу yÎ Y был поставлен в соответствие какой-либо элемент хÎ Х при данном отображении f. Такое соотношение называется сюръективным, т.е. если каждый элемент множества y имеет прообраз, то отображение f сюръективно.

Пусть X={a, b, c, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения f₁ и f₂ так:

т.е.

Отображение f₁ X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на Y, т.к. каждый элемент множества Y имеет прообраз. Отображение f₂ несюръективно, элемент " 4" не имеет прообраза.

Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента yÎ Y существует не более одного прообраза. Приведенные выше отображения f₁ и f₂ не являются инъективными.

Отображение f₃ - инъективно.

Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное соответствие).

Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.

Примером биективного отображения для бесконечных множеств может служить отображение f, установленное между множеством натурального ряда чисел A={1, 2, 3,... n,...} и множеством четных положительных чисел В={2, 4, 6,...} по типу n«2n.

Рис.1

На рис. 1. показана возможность установления биективного отображения между множеством Z точек полуокружности и множеством Х точек открытого отрезка (а, b), а также между множеством Z и множеством Y точек прямой - множеством Y.

z, z₁Î Z; Множества X, Y, Z - несчетные.

x, x₁Î X;

y, y₁Î Y.