Построение линии пересечения двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.

На рис.5.1. такими точками являются К₁, К₂,

Выбор решения данной задачи зависит от расположения заданных плоскостей относительно плоскостей проекций.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из пересекающихся плоскостей проецирующая. Рис.5.2, 5.3.

Даны плоскости a(АВС) и b(DEF), Плоскость b перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, Так как треугольник DEF проецируется на плоскость Н в виде прямой линии (D¢ F¢), то горизонтальная проекция l¢ линии пересечения плоскостей a и b совпадает с D¢ F¢, Обозначаем на этой проекции K¢ ₁ и K¢ ₂, затем определяем K¢ ¢ ₁ и K¢ ¢ ₂ по условию их принадлежности к сторонам треугольника ABC K₁Î AB, К₂Î ВС/

Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей.

Способ построения линии пересечения двух плоскостей состоит в следующем (рис, 5.4)

Заданные плоскости a и b пересекают третьей вспомогательной плоскостью g. Находим линии пересечения плоскости g с плоскостью a и плоскостью b

а= g Ç a; b= g Ç b.

Точка k₁ определяется в пересечении а и b. Для того, чтобы найти точку К₂, проведем описанные построения еще раз с еще одной вспомогательной секущей плоскостью.

Рассмотрим как этот алгоритм реализуется на чертеже (рис.5.5.). Плоскость a задана двумя пересекающимися прямыми (АВ, ВС).

Плоскость b задана параллельными прямыми (ED, GF). Обе плоскости общего положения.

Проведем вспомогательную секущую плоскость g₁ перпендикулярную V и пересекающую каждую из плоскостей a и b.

При пересечении плоскости g₁ с плоскостью a получаем прямую «a₁» с проекциями 1² 2², 1¢ 2¢, а при пересечении g₁ с b получаем прямую «b₁» с проекциями 3² 4², 3¢ 4¢, Эти прямые расположенные в плоскости g₁ в своем пересечении определяют точку k₁ линии пересечения a и b.

K¢ ₁= 1¢ 2¢ Ç 3¢ 4¢ K¢ ¢ ₁ Î g² ₁

Введя затем плоскость g₂ получим:

a₂ = g₂Ç a с проекциями 5¢ ¢ 6¢ ¢, 5¢ 6¢

b₂= g₂Ç b с проекциями 7² 8², 7¢ 8¢

К₂= a₂Ç Ь₂

К¢ ₂=5¢ 6¢ Ç 7¢ 8¢

К¢ ¢ ₂ Î g² ₂

Затем определяем проекции искомой линии пересечения K¢ ₁K¢ ₂ и K¢ ¢ ₁K¢ ¢ ₂.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то точки, определяющую прямую пересечения плоскостей, находят на пересечение одноименных следов плоскостей.

L¢ ₁=a_H Ç b_H; L¢ ¢ ₁=a_V Ç b_V

В этом случае плоскости проекции выполняют роль вспомогательных секущих плоскостей, а соответствующие следы несут функции проекций прямых а¢, b¢ и а², b². (рис, 5, 6.).

На рис.5.7. показан случай когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

5.2. Пересечение прямой линии с плоскостью

Рассмотрим способы построения точки пересечения прямой с плоскостью при различном их расположении относительно плоскостей проекций.