Метод Крамера. Формулы Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения задач связанных с системами уравнений. Наиболее часто формулами Крамера пользуются для систем уравнений с тремя и более неизвестными. Неизвестные в системах уравнений в которых большое количество корней обозначаются чаще не x, y, z… и т.д., а x1, x2, x3 и т.д.
Для того что бы понять как работать с формулами Крамера (такое название можно встрерить в литературе по математическому анализу), решим простую задачу. Возьмем систему уравнений с тремя неизвестными. Необходимое условие для решения системы с тремя неизвестным это наличие в системе трех уравнений. Итак, приступим:

мы имеем систему с тремя неизвестными и тремя уравнениями значит такая система имеет конечное число решений.
Решение:
1. Сначала выпишем в столбцы коэффициенты перед всеми неизвестными:

Теперь найдем отсюда главный определитель обозначаемый " ". Воспользуемся правилом треугольника.
Для этого нужно сначала перемножить все числа по главной диагонали с верхнего левого края до нижнего края справа " \" (1*5*1), а затем по три числа в форме треугольника вокруг цифры пять т.е. (2*-6*2) и (4*3*3). Полученные значения следует просуммировать не меняя знака.
Затем по побочной диагонали " /". Т.е. от левого нижнего угла до правого верхнего (2*5*3) и вокруг пятерки по аналогии с главной диагональю - (4*2*1) и (3*-6*1). Полученные значения просуммировать с противоположным знаком. Посмотрим что у нас получилось:
=1*5*1+2*(-6)*2+4*3*3-2*5*3-4*2*1-3*(-6)*1=5+36-24-30-8-18=-3
Мы нашли главный определитель!
Теперь нам осталось найти три вспомогательных определителя. Попробуем…
Что бы найти вспомогательные определители нужно по очереди заменять столбцы на цифры стоящие в правой части системы уравнений (после знака " ="). После этого следуем вычислить значения вспомогательных определителей. Вот что должно получиться:
=30+27-72-90+108-6= -3
=3-72+72-18+36-24= -3
=30+72+12-60-48-9= -3
Итак. Мы почти решили систему уравнений по методу Крамера. НО! Мы еще не применили самих формул Крамера. Вот они:



Отсюда получим, что все неизвестные данной системы равняются единице. При желании можно проверить эту систему.
Стоит отметить, что совпадение вспомогательных определителей в данном случае чистая случайность.

25.