Тема 1. Парная линейная регрессия.

1. Рассчитайте оценки параметров парной линейной регрессии, где у – расходы на покупку продовольственных товаров, % к общему объему расходов, а х – среднемесячная заработная плата 1 работника, тыс. руб.

Параметры а и b линейной регрессии рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитаем .

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее методом определителей: определитель системы ∆ равен:

,

,

,

Получаем уравнение регрессии: .

Этот же результат можно получить, используя следующие формулы для нахождения параметров:

, ,

где - дисперсия по факторному признаку.

Таблица 1. – Расчетные данные

Номер региона	х	у	ху				у-
	4, 5	68, 8	309, 6	20, 25	4733, 44	67, 1	1, 7	2, 97	121, 629	86, 583	2, 84	2, 47
	5, 9	58, 3	343, 97	34, 81	3398, 89	59, 3	-1, 0	1, 10	0, 279	2, 487	0, 08	1, 72
	5, 7	62, 6	356, 82	32, 49	3918, 76	60, 4	2, 2	4, 61	23, 315	7, 189	0, 24	0, 51
	7, 2	52, 1	375, 12	51, 84	2714, 41	52, 2	-0, 1	0, 01	32, 165	31, 346	1, 03	0, 19
	6, 2	54, 5	337, 9	38, 44	2970, 25	57, 7	-3, 2	10, 19	10, 702	0, 006	0, 00	5, 87
		57, 1	342, 6		3260, 41	58, 8	-1, 7	2, 88	0, 451	1, 051	0, 03	2, 98
	7, 8		397, 8	60, 84	2601, 00	48, 9	2, 1	4, 58	45, 852	79, 399	2, 61	4, 12
Сумма	43, 3	404, 4	2463, 81	274, 67	23597, 16	404, 4		26, 33	234, 39	208, 06	6, 83	20, 86
Среднее значение	6, 186	57, 77	351, 97	39, 24	3371, 02	-	-	-	-	-	-	-

Однако, оперируя средними величинами, мы можем столкнуться с ошибками округления. Действительно, . Соответственно не совпадает и величина параметра , т.е.

При решении с помощью компьютера уравнение регрессии составило: .

Величина коэффициента регрессии означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 5.5 % - х пункта.

1. Оцените тесноту связи между признаками.

Линейное уравнение регрессии дополняется расчетом линейного коэффициента корреляции:

или .

Так как то , что означает тесную обратную связь рассматриваемых признаков.

2. Рассчитайте коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации составит: , т.е. вариация у на 88, 8 % объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 11, 2 %.

3. Проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0, 05.

Оценку статистической значимости коэффициента регрессии проведем с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы:

Н₀ – коэффициент регрессии является статистически незначимым, т.е. b=0;

Н₁ – коэффициент регрессии статистически значим, т.е. b≠ 0.

Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии m_b:

.

Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента:

.

Фактическое значение t – критерии превосходит табличное значение на 5 %-м уровне значимости при числе степеней свободы =5: t_табл = 2, 57. Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. b отличается от нуля не случайно и коэффициент регрессии является статистически значимым.

4. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента регрессии, для чего определим предельную ошибку для параметра b.

.

Доверительные интервалы: , т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% коэффициент регрессии, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значение, т.е. не является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.

5. Составить таблицу дисперсионного анализа.

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице 2.

Таблица 2. – Таблица дисперсионного анализа

6. Оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии.

В силу того, что F_факт=39, 5> F_табл=6, 61, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость расходов на покупку продовольственных товаров от среднемесячной заработной платы.

8. Рассчитайте, каковы будут расходы на покупку продовольственных товаров, если среднемесячная заработная плата составит 8 тыс. руб.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение среднемесячной заработной платы х=8, то точечный прогноз расходов составит: % - х пункта.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значения расходов .

;

где - стандартная ошибка регрессии.

Предельная ошибка прогнозируемого расхода составит:

.

Доверительный интервал прогнозируемого расхода составит:

,

т.е. при среднемесячной заработной плате, равной 8 тыс. руб., расходы на покупку продовольственных товаров составят не меньше чем

% - х пункта

и не больше чем

% - х пункта.

9. Рассчитайте средний коэффициент эластичности.

Средний коэффициент эластичности для линейной регрессии рассчитывается по формуле:

.

Таким образом, получаем, что с ростом среднемесячной заработной платы на 1 % расходы на покупку продовольственных товаров снижаются на 4, 14 %.

10. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

,

(см. последнюю графу расчетной таблицы 1).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 2, 98 %.