Жүйенің кіші тербелмелі қозғалысына қатысты есептер

6.5 -есеп. 6.5-суретте кө рсетілген механизм вертикаль жазық тық та орналасқ ан. Ол қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналатын, радиустары сә йкес тү рде м, м, болатын 1-баспалдақ ты дө ң гелектен, горизонтал

6.5-сурет

жазық тық та сырғ ымай домалайтын радиусы м болатын дө ң гелек 2 ден, ұ зындығ ы м болатын стержень 3 тен жә не горизонтал бойымен ү йкелместен сырғ итын ползун 4 тен тұ рады. 3-стержень 2-дө ң гелекке, 4-ползунғ а, 1-дө ң гелеке шарнилер кө мегінде ауырлығ ы есепке алынбайтын 6 жә не 7-стержендер кө мегінде біріктірілген. 7-стержень горизонтпен бұ рыш жасайды, ал 6-стержень горизонтал орналасқ ан. 1 жә не 2-дө ң гелектер ауырлығ ы есепке алынбайтын 8-стержень кө мегімен байланғ ан. AB=0, 55м.

Қ аттылығ ы С болатын вертикал серіппенің Е ұ шы 1-баспалдақ ты дө ң гелекпен біріктірілсе, Е₁ горизонтал жазық тық қ а бекітілген.

6.5-суретте механизмнің тепе-тең дік кү йі кө рсетілген. Жү йенің тепе-тең дік кү йінің маң айындағ ы тербелістер қ айталануы жә не периоды анық талсын. Сонымен қ атар, пружинаның статик созылуы табылсын. 1 жә не 2- дө ң гелектер бір текті цилиндр деп қ абылдансын.

Шешуі. Қ арастырылып жатқ ан жү йенің еркіндік дә режесі бірге тең. Себебі, 4-ползунның тепе-тең дік жағ дайынан ауытқ уын немесе 1-дө ң гелектің бұ рылуын, немесе серіппенің кө шуін, немесе 3-стерженнің бұ рылуын бір координата арқ ылы анық тау мү мкін.

Айталық, 4-ползун кіші х аралық қ а жылжысын. Бұ л жағ дайда механизм кө рінісі 6.6-суреттегідей болады. Жалпыланғ ан координата деп

6.6-сурет

х -ті аламыз. Жү йенің кіші тербелісін қ арастырып жатқ анымыз себепті жү йе нү ктелерінің жылдамдық тары 6.6-суретте бейнелегендей бағ ытталады.

Қ арастырылып жатқ ан жү йе ү шін Лагранждың ІІ-тү р тең деуі тө мендегідей жазылады:

(6.46) Жү йеге ауырлық кү штері жә не серіппенің серпімділік кү ші ә сер етеді. Олар потенциалдық болғ аны ү шін

(6.47)

болады. Жү йенің кинетикалық энергиясы

. (6.48)

1-дө ң гелек жә не 3-стержень айналады, 2-дө ң гелек жазық -паралелль қ озғ алыста, 4-ползун ілгерілемелі қ озғ алыста болғ андығ ы ү шін олардын кинетикалық энергиялары

(6.49)

болады. Бұ л ө рнекте

.

(6.49)-ө рнектердегі барлық жылдамдық тарды жалпыланғ ан жылдамдық арқ ылы ө рнектеймыз.

7-стержень жазық -паралелль қ озғ алыста. Сондық тан К нү ктенің жылдамдығ ын анық тағ ан кезде жазық -паралелль қ озғ алыстағ ы дененің екі нү ктесінің жылдамдық тарының осы нү ктелерден ө тетін ө стегі проекциялары тең деген теоремадан пайдаланамаыз.

Бұ дан . K нү кте 1- дө нгелекке тиісті болғ андық тан:

(6.50)

болғ андығ ы ү шін 8-стержень лездік ілгерілемелі қ озғ алыста болады. Соң дық тан

. (6.51)

2-дө ң гелек сырғ анамай домалағ аны ү шін оның лездік центрі Р нү ктеде болады. Сол себепті

(6.52)

(6.50) ді (6.51) ге қ ойсақ:

.

Бұ дан

(6.53)

O₂ жә не D нү ктелердің жылдамдық тары тө мендегідей ө рнектерден анық талады:

(6.54)

(6.55)

DB стерженнің D нү ктесінің жылдамдық векторының бағ ыты бағ ытымен бірдей болып DB бойымен бағ ытталады Сол себепті DB лездік ілгерілемелі қ озғ алыста болады:

немесе

Бұ л ө рнекте Сол ү шін

(6.56)

(6.50), (6.53), (6.54) жә не (6.56) ларды (6.49) ғ а қ оямыз:

,

Бұ ларды енді (6.48) ге қ ойсақ,

(6.57)

келіп шығ ады.

Енді потенциалдық энергияны есептейміз:

(6.58)

кү штер қ ойылғ ан нү кте вертикаль бойымен кө шпегені себепті:

ді Тейлор қ атарына жіктеп, тө ртінші жә не одан жоғ ары ретті кіші шамаларды назарғ а алмасақ,

(6.59)

пайда болады.

(6.56) ғ а сә йкес

.

Жү йенің тепе-тең дік жағ дайында серіппе - қ а созылғ ан, ол жағ дайда:

Нә тижеде

Бұ дан

(6.60)

келіп шығ ады.

(6.47) ден

. (6.61)

(6.60) жә не (6.61) ді (6.46) қ оямыз, онда

. (6.62)

Жү йенің тепе- тең дік жағ дайында x = 0, Q = 0. Нә тижеде болады. Бұ л жағ дайда Лагранждың II тү р тең деуі тө мендегідей жазылады:

,

немесе .

Мұ ндағ ы k тербелістердің дө ң гелектік жиілігі:

Сан мә ндерін қ ойсақ: ; тербеліс периоды