Средняя гармоническая и другие виды средних величин

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение х ∙ f, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим х ∙ f = w, откуда f = w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо хf подставим w, вместо f – отношение w/х и получим формулу средней гармонической взвешенной:

Средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = х ∙ f, то есть в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляется по формуле:

где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n – число вариантов.

Если по двум частям совокупности (численности n1 и n2) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, то есть характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х.

где n – число вариантов; П – знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая и средняя кубическая. Формулы для расчета средней квадратической:

Ø Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная

где f – веса.

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

Ø Средняя кубическая простая

Ø Средняя кубическая взвешенная

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

18. Структурные средние: мода и медиана

Для изучения структуры исследуемой совокупности применяют так называемые структурные средние: моду и медиану.

Модой в статистике называют наиболее часто встречающиеся в исследуемой совокупности значение признака. В дискретном вариационном ряду моду определяют по наибольшей частоте. В интервальном ряду мода определяется по формуле:

M0=x0+i * (fmo - fmo -1)/((fmo - fmo -1)+ (fmo - fmo +1))

где x0- нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i - величина модального интервала;

fmo - частота модального интервала;

fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

fmo +1 - частота интервала, следующая за модальным.

Медианой в статистике называют такое значение признака, которое расположено в середине упорядоченного ряда. Медиана определяется по–разному для дискретного и интервального вариационного рядов. Медиана дискретного вариационного ряда, расположенного в ранжированном порядке, имеет серединное значение. Если дискретный ряд включает четное число единиц, то медиана (Ме) определяется как средняя из двух центральных значений. Медиана в интервальном ряду определяется по формуле:

где xМе -нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала;

∑ f - сумма частот;

Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному

fme – частота медианного интервала.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выберем самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки пересечения отпускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Медиана рассчитывается на кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно найти значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на десять, сто частей. Эти величины называются квартили, децили, перцентили.