Проверка различия средних арифметических

Обычно при сравнении существующего технологического процесса с усовершенствованным технологическим процессом, при сравнении производственной методики по способу А и В, при сопоставлении результатов работы группы А и группы В и т.д. среднее генеральной совокупности часто бывает неизвестно. В такого рода ситуациях рекомендуется осуществлять проверку, придерживаясь следующего порядка.

Прежде всего, определяют отношение дисперсий, полученных из несмещенных оценок s_е1², s_е2² для двух групп выборок, и осуществляют проверку по F -распределению, в результате чего убеждаются, что в дисперсии не обнаруживается существенного различия. В том случае, когда между s_е1² и s_е2² имеется существенное различие, то определить общую дисперсию s₂² становится невозможным.

Если нет существенного различия между s_е1² и s_е2², то обозначая средние арифметические измеренных значений двух групп выборок n₁, n₂ через , а сумму квадратов через S₁, S₂, можно построить предположение, что дисперсия генеральной совокупности s² оценивается общей для двух групп несмещенной оценкой :

= (2.6)

При проверке существенного различия средних арифметических в двух группах выборок целесообразно применить формулу:

(2.7)

и осуществлять проверку по t -распределению. При этом число степеней свободы равно Ф = n₁+n₂ - 2.

Объединив вместе все процедуры проверки при данной ситуации, получают:

1. Н₀: s₁² = s₂², а также m₁ = m_2.

2. Определяют дисперсии s_е1², s_е2² и осуществляют проверку по

F- критерию. Если нет существенного различия переходят к следую-

щему процессу.

3. Н₁: m₁ ¹ m₂.

4. Определив s_е², вычисляют t₀.

5. Сравнив t₀ со значениями t_{ф, a} из таблицы t -распределения при

Ф = n₁+n₂ - 2, делают выводы.

Пример 2.4.

Проверить, существенно ли различие в средних значениях твердости после закалки, произведенной на устройствах А и В, пользуясь данными примера 2.3.

Решение:

1. Н₀: s_А² = s_В², m_А = m_В.

2. В результате проверки по F -критерию, как уже было описано выше, существенного различия не было установлено.

3. Н₁: m_А ¹ m_В.

4. Определяют несмещенную оценку дисперсии по зависимости (2.6):

5. Вычисляют по выражению (2.7) t₀:

6. Выносится решение:

t_{9; 0.01} = 3.25 > t_0.

Существенного различия между средними значениями не установлено.