Показатели качества обнаружения

Для обнаружителя оптимального по критерию Неймана-Пирсона определим вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Для этого потребуется определить распределение вероятностей достаточной статистики у, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла y при отсутствии (l = 0) и наличии (l = 1) сигнала s(t) на входе обнаружителя.

Рассмотрим случай l = 0, то есть когда на входе обнаружителя присутствует только шум n(t). Тогда x (t) = n (t) и величина у (см.7.21), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние равны

M [ y / l = 0] = 0, D [ y / l = 0] = 2 E_S / N ₀ = q ².

Таким образом, плотность вероятностей р_n (у) величины y при l = 0 имеет вид

Рассмотрим случай l = 1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины у по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины y, очевидно также не меняется, D[y/l=1] = q². Изменяется лишь математическое ожидание:

Следовательно,

(8.1)

Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения:

(8.2)

Используя интеграл вероятностей

(8.3)

формулы (8.1) и (8.2) можно переписать в виде

(8.4)

(8.5)

С помощью (8.4) и (8.5) рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Для обнаружителя, оптимального по критерию Неймана-Пирсона в качестве характеристики оптимального обнаружения используется зависимость правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при постоянной вероятности ложной тревоги Р_пр= f(q) при Р_лт = const. Согласно (8.4) и (8.5) имеем

(8.6)

где Ф^-1(u) - функция, обратная к интегралу вероятностей (8.3). Задаваясь значением Р_лт, можно, пользуясь таблицей интеграла вероятностей, определить Ф^-1(1-Р_лт), а затем, задаваясь различными значениями q, рассчитать Р_по в соответствии с выражением (8.6).

Рис. 8.1

В результате этого получим график Р_по= f(q). На рис.8.1 сплошными линиями показаны характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Характеристики обнаружения позволяют определить минимальную энергию принимаемого сигнала Е_пр.min (или его минимальную мощность Р_пр.min), необходимую для его обнаружения с заданными качественными показателями Р_лт и Р_по.